Номер 18.30, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.30, страница 56.

18.30 a) $4 \sin^2 \frac{x}{2} - 3 = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2};$

б) $3 \sin^2 \frac{x}{3} + 4 \cos^2 \frac{x}{3} = 3 + \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3}.$

а)

Дано уравнение: $4 \sin^2 \frac{x}{2} - 3 = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$.

Для решения этого уравнения воспользуемся тригонометрическими формулами. Правую часть уравнения можно преобразовать с помощью формулы синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $. В нашем случае $ \alpha = \frac{x}{2} $, поэтому $ 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = \sin x $.

Для левой части используем формулу понижения степени $ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $. При $ \alpha = \frac{x}{2} $ получаем $ \sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} $.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$4 \left( \frac{1 - \cos x}{2} \right) - 3 = \sin x$

$2(1 - \cos x) - 3 = \sin x$

$2 - 2 \cos x - 3 = \sin x$

$-1 - 2 \cos x = \sin x$

Перенесем все тригонометрические функции в одну сторону:

$\sin x + 2 \cos x = -1$

Получилось линейное тригонометрическое уравнение. Решим его методом универсальной тригонометрической подстановки, выразив $ \sin x $ и $ \cos x $ через тангенс половинного угла $ t = \tan \frac{x}{2} $:

$ \sin x = \frac{2t}{1+t^2} $, $ \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2} $

Подставим в уравнение:

$ \frac{2t}{1+t^2} + 2 \frac{1-t^2}{1+t^2} = -1 $

Умножим обе части на $ 1+t^2 $ (это выражение всегда положительно):

$2t + 2(1 - t^2) = -(1 + t^2)$

$2t + 2 - 2t^2 = -1 - t^2$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни:

$t_1 = 3$, $t_2 = -1$.

Теперь вернемся к переменной $x$:

1) $ \tan \frac{x}{2} = 3 $. Отсюда $ \frac{x}{2} = \arctan 3 + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ x = 2 \arctan 3 + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \tan \frac{x}{2} = -1 $. Отсюда $ \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $x = 2 \arctan 3 + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение: $3 \sin^2 \frac{x}{3} + 4 \cos^2 \frac{x}{3} = 3 + \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3}$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:

$3 \sin^2 \frac{x}{3} + 4 \cos^2 \frac{x}{3} = 3 \sin^2 \frac{x}{3} + 3 \cos^2 \frac{x}{3} + \cos^2 \frac{x}{3} = 3(\sin^2 \frac{x}{3} + \cos^2 \frac{x}{3}) + \cos^2 \frac{x}{3} = 3(1) + \cos^2 \frac{x}{3} = 3 + \cos^2 \frac{x}{3}$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$3 + \cos^2 \frac{x}{3} = 3 + \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3}$

Вычтем 3 из обеих частей уравнения:

$\cos^2 \frac{x}{3} = \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3}$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$\cos^2 \frac{x}{3} - \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3} = 0$

$\cos \frac{x}{3} \left( \cos \frac{x}{3} - \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \right) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $ \cos \frac{x}{3} = 0 $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение:

$ \frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos \frac{x}{3} - \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} = 0 $.

$ \cos \frac{x}{3} = \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} $.

Заметим, что в этом случае $ \cos \frac{x}{3} $ не может быть равен нулю, так как если $ \cos \frac{x}{3} = 0 $, то и $ \sin \frac{x}{3} $ должен быть равен нулю, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos \frac{x}{3} \neq 0 $:

$1 = \sqrt{3} \frac{\sin (x/3)}{\cos (x/3)}$

$1 = \sqrt{3} \tan \frac{x}{3}$

$\tan \frac{x}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Решение этого уравнения:

$ \frac{x}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{\pi}{2} + 3\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}; \ x = \frac{\pi}{2} + 3\pi m, m \in \mathbb{Z}$.