Номер 18.31, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.31, страница 56.

18.31 a) $\sin \left(\frac{\pi}{2}+2 x\right)+\cos \left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)=0;$

б) $2 \sin (\pi-3 x)+\cos (2 \pi-3 x)=0.$

а) Дано уравнение: $\sin(\frac{\pi}{2} + 2x) + \cos(\frac{\pi}{2} - 2x) = 0$.
Применим формулы приведения для упрощения тригонометрических функций:
1. $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 2x$, значит $\sin(\frac{\pi}{2} + 2x) = \cos(2x)$.
2. $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 2x$, значит $\cos(\frac{\pi}{2} - 2x) = \sin(2x)$.
Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:
$\cos(2x) + \sin(2x) = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение первого порядка. Для его решения разделим обе части на $\cos(2x)$, предварительно убедившись, что $\cos(2x) \ne 0$. Если предположить, что $\cos(2x) = 0$, то из уравнения следует, что и $\sin(2x) = 0$. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно, так как нарушается основное тригонометрическое тождество $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$. Следовательно, $\cos(2x) \ne 0$, и мы можем разделить на него обе части уравнения:
$\frac{\cos(2x)}{\cos(2x)} + \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = 0$
$1 + \tan(2x) = 0$
$\tan(2x) = -1$
Теперь найдем решение для $2x$:
$2x = \arctan(-1) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение: $2\sin(\pi - 3x) + \cos(2\pi - 3x) = 0$.
Применим формулы приведения:
1. $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 3x$, значит $\sin(\pi - 3x) = \sin(3x)$.
2. $\cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 3x$, значит $\cos(2\pi - 3x) = \cos(3x)$.
Подставим упрощенные выражения в уравнение:
$2\sin(3x) + \cos(3x) = 0$.
Это также однородное тригонометрическое уравнение первого порядка. Разделим обе части на $\cos(3x)$. Как и в предыдущем пункте, $\cos(3x)$ не может быть равен нулю, так как это привело бы к тому, что и $\sin(3x)$ равен нулю, что невозможно.
$2\frac{\sin(3x)}{\cos(3x)} + \frac{\cos(3x)}{\cos(3x)} = 0$
$2\tan(3x) + 1 = 0$
$2\tan(3x) = -1$
$\tan(3x) = -\frac{1}{2}$
Найдем решение для $3x$:
$3x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
Используя свойство нечетности арктангенса $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, получим:
$3x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi k$
Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:
$x = -\frac{1}{3}\arctan(\frac{1}{2}) + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{1}{3}\arctan(\frac{1}{2}) + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.