Номер 18.36, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.36, страница 57.

Решите уравнение:

18.36 a) $|\sin x| = |\cos x|$;

б) $\sqrt{3} \cot x = 2 |\cos x|$;

в) $|\sin 2x| = |\sqrt{3} \cos 2x|$;

г) $\sqrt{2} \tan x + 2 |\sin x| = 0.$

a) $|\sin x| = |\cos x|$

Данное уравнение равносильно тому, что $\sin x = \cos x$ или $\sin x = -\cos x$.

Заметим, что если $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что $|\sin x| = 0$, то есть $\sin x = 0$. Однако, $\sin x$ и $\cos x$ не могут быть равны нулю одновременно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $|\cos x|$:

$\frac{|\sin x|}{|\cos x|} = 1$

$|\frac{\sin x}{\cos x}| = 1$

$|\operatorname{tg} x| = 1$

Это уравнение распадается на два:

1) $\operatorname{tg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\operatorname{tg} x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно объединить в одну. На единичной окружности это точки, которые делят каждую четверть пополам. Расстояние между соседними точками равно $\frac{\pi}{2}$.

Объединенная серия решений: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{3} \operatorname{ctg} x = 2|\cos x|$

Область допустимых значений (ОДЗ) для $\operatorname{ctg} x$ определяется условием $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Заменим $\operatorname{ctg} x$ на $\frac{\cos x}{\sin x}$:

$\sqrt{3} \frac{\cos x}{\sin x} = 2|\cos x|$

Рассмотрим два случая:

1) $\cos x = 0$.

Подставив в уравнение, получим $0 = 0$. Значит, значения $x$, при которых $\cos x = 0$, являются решениями, если они входят в ОДЗ. $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $x$, $\sin x = \pm 1 \neq 0$, что удовлетворяет ОДЗ. Таким образом, $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ — первая серия решений.

2) $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $|\cos x|$:

$\sqrt{3} \frac{\cos x}{|\cos x| \sin x} = 2$

Теперь рассмотрим два подслучая в зависимости от знака $\cos x$.

a) Если $\cos x > 0$, то $|\cos x| = \cos x$. Уравнение принимает вид:

$\sqrt{3} \frac{\cos x}{\cos x \sin x} = 2 \implies \frac{\sqrt{3}}{\sin x} = 2 \implies \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Нам нужны решения, для которых одновременно $\cos x > 0$ и $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это соответствует первой четверти. $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. Уравнение принимает вид:

$\sqrt{3} \frac{\cos x}{(-\cos x) \sin x} = 2 \implies \frac{-\sqrt{3}}{\sin x} = 2 \implies \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Нам нужны решения, для которых одновременно $\cos x < 0$ и $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это соответствует третьей четверти. $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$ (или $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi m$).

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

в) $|\sin 2x| = |\sqrt{3} \cos 2x|$

Уравнение можно переписать как $|\sin 2x| = \sqrt{3} |\cos 2x|$.

Заметим, что если $\cos 2x = 0$, то $|\sin 2x| = 1$. Уравнение примет вид $1 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos 2x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $|\cos 2x|$:

$\frac{|\sin 2x|}{|\cos 2x|} = \sqrt{3}$

$|\operatorname{tg} 2x| = \sqrt{3}$

Это уравнение эквивалентно двум:

1) $\operatorname{tg} 2x = \sqrt{3} \implies 2x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\operatorname{tg} 2x = -\sqrt{3} \implies 2x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединим эти две серии решений:

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем $x$, разделив на 2:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\sqrt{2} \operatorname{tg} x + 2|\sin x| = 0$

ОДЗ: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Заменим $\operatorname{tg} x$ на $\frac{\sin x}{\cos x}$:

$\sqrt{2} \frac{\sin x}{\cos x} + 2|\sin x| = 0$

Рассмотрим два случая:

1) $\sin x = 0$.

Подставив в уравнение, получим $0 = 0$. Значит, значения $x$, при которых $\sin x = 0$, являются решениями, если они входят в ОДЗ. $\sin x = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $x$, $\cos x = \pm 1 \neq 0$, что удовлетворяет ОДЗ. Таким образом, $x = \pi n$ — первая серия решений.

2) $\sin x \neq 0$.

Вынесем $|\sin x|$ за скобки (или разделим на него):

$|\sin x| \left( \sqrt{2} \frac{\sin x}{|\sin x|\cos x} + 2 \right) = 0$

Так как $\sin x \neq 0$, то $|\sin x| \neq 0$. Следовательно, выражение в скобках равно нулю:

$\sqrt{2} \frac{\sin x}{|\sin x|\cos x} + 2 = 0$

a) Если $\sin x > 0$ (1 и 2 четверти), то $|\sin x| = \sin x$. Уравнение принимает вид:

$\sqrt{2} \frac{1}{\cos x} + 2 = 0 \implies \frac{\sqrt{2}}{\cos x} = -2 \implies \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Условиям $\sin x > 0$ и $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ удовлетворяют углы во второй четверти. $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) Если $\sin x < 0$ (3 и 4 четверти), то $|\sin x| = -\sin x$. Уравнение принимает вид:

$\sqrt{2} \frac{-1}{\cos x} + 2 = 0 \implies \frac{-\sqrt{2}}{\cos x} = -2 \implies \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Условиям $\sin x < 0$ и $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ удовлетворяют углы в четвертой четверти. $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.