Номер 18.40, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.40, страница 57.

18.40 a) $3 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}\right) = 2;$

б) $2 \cos^2 \frac{x}{2} - 3 \sin\left(\pi - \frac{x}{2}\right) \cos\left(2\pi - \frac{x}{2}\right) + 7 \sin^2 \frac{x}{2} = 3;$

в) $4 \cos^2 \left(\frac{\pi}{2} + x\right) + \sqrt{3} \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) \sin(\pi + x) + 3 \cos^2 (\pi + x) = 3;$

г) $3 \sin^2 \left(x - \frac{3\pi}{2}\right) - 2 \cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) \cos(\pi + x) + 2 \sin^2 (x - \pi) = 2.$

а) $3 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}) = 2$

Применим формулу приведения: $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha$.

$3 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 2$

Используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}$ для правой части уравнения:

$3 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 2(\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2})$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$3 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - 2 \sin^2 \frac{x}{2} - 2 \cos^2 \frac{x}{2} = 0$

$\sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - 2 \cos^2 \frac{x}{2} = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение. Заметим, что $\cos \frac{x}{2} \neq 0$, так как если $\cos \frac{x}{2} = 0$, то $\sin^2 \frac{x}{2} = 1$, и уравнение принимает вид $1=0$, что неверно. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 \frac{x}{2}$:

$\frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} - \frac{2 \cos^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} = 0$

$\tan^2 \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2} - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \tan \frac{x}{2}$.

$t^2 + t - 2 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = -2$.

Вернемся к замене:

1) $\tan \frac{x}{2} = 1$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan \frac{x}{2} = -2$

$\frac{x}{2} = \arctan(-2) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = 2\arctan(-2) + 2\pi k = -2\arctan(2) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad x = -2\arctan(2) + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $2 \cos^2 \frac{x}{2} - 3 \sin(\pi - \frac{x}{2}) \cos(2\pi - \frac{x}{2}) + 7 \sin^2 \frac{x}{2} = 3$

Применим формулы приведения: $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$ и $\cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha$.

$2 \cos^2 \frac{x}{2} - 3 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + 7 \sin^2 \frac{x}{2} = 3$

Заменим $3$ на $3(\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2})$:

$2 \cos^2 \frac{x}{2} - 3 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + 7 \sin^2 \frac{x}{2} = 3 \sin^2 \frac{x}{2} + 3 \cos^2 \frac{x}{2}$

Перенесем все члены в левую часть:

$(7 \sin^2 \frac{x}{2} - 3 \sin^2 \frac{x}{2}) - 3 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + (2 \cos^2 \frac{x}{2} - 3 \cos^2 \frac{x}{2}) = 0$

$4 \sin^2 \frac{x}{2} - 3 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2} = 0$

Это однородное уравнение. Разделим его на $\cos^2 \frac{x}{2} \neq 0$ (проверка аналогична пункту а):

$4 \tan^2 \frac{x}{2} - 3 \tan \frac{x}{2} - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \tan \frac{x}{2}$.

$4t^2 - 3t - 1 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = (-3)^2 - 4(4)(-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

$t_1 = \frac{3 + 5}{8} = 1$

$t_2 = \frac{3 - 5}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$

Вернемся к замене:

1) $\tan \frac{x}{2} = 1$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan \frac{x}{2} = -\frac{1}{4}$

$\frac{x}{2} = \arctan(-\frac{1}{4}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = 2\arctan(-\frac{1}{4}) + 2\pi k = -2\arctan(\frac{1}{4}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad x = -2\arctan(\frac{1}{4}) + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

в) $4 \cos^2(\frac{\pi}{2} + x) + \sqrt{3} \sin(\frac{3\pi}{2} - x) \sin(\pi + x) + 3 \cos^2(\pi + x) = 3$

Применим формулы приведения:
$\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x \implies \cos^2(\frac{\pi}{2} + x) = \sin^2 x$
$\sin(\frac{3\pi}{2} - x) = -\cos x$
$\sin(\pi + x) = -\sin x$
$\cos(\pi + x) = -\cos x \implies \cos^2(\pi + x) = \cos^2 x$

Подставим в уравнение:

$4 \sin^2 x + \sqrt{3} (-\cos x)(-\sin x) + 3 \cos^2 x = 3$

$4 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x + 3 \cos^2 x = 3$

Заменим $3$ на $3(\sin^2 x + \cos^2 x)$:

$4 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x + 3 \cos^2 x = 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x$

Перенесем все члены в левую часть:

$\sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\sin x + \sqrt{3} \cos x) = 0$

Получаем два случая:

1) $\sin x = 0$

$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0$

Разделим на $\cos x \neq 0$:

$\tan x + \sqrt{3} = 0$

$\tan x = -\sqrt{3}$

$x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi n, \quad x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

г) $3 \sin^2(x - \frac{3\pi}{2}) - 2 \cos(\frac{3\pi}{2} + x) \cos(\pi + x) + 2 \sin^2(x - \pi) = 2$

Применим формулы приведения и свойства четности/нечетности:
$\sin(x - \frac{3\pi}{2}) = \sin(-(\frac{3\pi}{2} - x)) = -\sin(\frac{3\pi}{2} - x) = -(-\cos x) = \cos x \implies \sin^2(x - \frac{3\pi}{2}) = \cos^2 x$
$\cos(\frac{3\pi}{2} + x) = \sin x$
$\cos(\pi + x) = -\cos x$
$\sin(x - \pi) = \sin(-(\pi - x)) = -\sin(\pi - x) = -(\sin x) \implies \sin^2(x - \pi) = \sin^2 x$

Подставим в уравнение:

$3 \cos^2 x - 2 (\sin x)(-\cos x) + 2 \sin^2 x = 2$

$3 \cos^2 x + 2 \sin x \cos x + 2 \sin^2 x = 2$

Заменим $2$ на $2(\sin^2 x + \cos^2 x)$:

$3 \cos^2 x + 2 \sin x \cos x + 2 \sin^2 x = 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x$

Перенесем все члены в левую часть:

$(2 \sin^2 x - 2 \sin^2 x) + 2 \sin x \cos x + (3 \cos^2 x - 2 \cos^2 x) = 0$

$2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 0$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$\cos x (2 \sin x + \cos x) = 0$

Получаем два случая:

1) $\cos x = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $2 \sin x + \cos x = 0$

Разделим на $\cos x \neq 0$:

$2 \tan x + 1 = 0$

$\tan x = -\frac{1}{2}$

$x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi k = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.