Номер 18.42, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.42, страница 58.

18.42 a) $2 \operatorname{tg}^2 2x + 3 \operatorname{tg}(\pi + 2x) = 0;$

б) $\operatorname{tg}^2 3x - 6 \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - 3x\right) = 0.$

а) $2 \operatorname{tg}^2 2x + 3 \operatorname{tg}(\pi + 2x) = 0$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Функция тангенса $\operatorname{tg}(\alpha)$ определена, когда ее аргумент $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении это означает, что $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, откуда $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Используем формулу приведения для тангенса, согласно которой $\operatorname{tg}(\pi + \alpha) = \operatorname{tg}(\alpha)$, так как период тангенса равен $\pi$.

Тогда уравнение принимает вид:

$2 \operatorname{tg}^2 2x + 3 \operatorname{tg}(2x) = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \operatorname{tg}(2x)$. Уравнение превращается в квадратное:

$2y^2 + 3y = 0$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(2y + 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения для $y$:

1) $y = 0$

2) $2y + 3 = 0 \implies y = -\frac{3}{2}$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$ для каждого случая.

Случай 1: $\operatorname{tg}(2x) = 0$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение имеет вид:

$2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Эти корни удовлетворяют ОДЗ, так как $\frac{\pi k}{2}$ никогда не равно $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

Случай 2: $\operatorname{tg}(2x) = -\frac{3}{2}$.

Решение этого уравнения:

$2x = \operatorname{arctg}(-\frac{3}{2}) + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство арктангенса $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$, получаем:

$2x = -\operatorname{arctg}(\frac{3}{2}) + \pi m$

$x = -\frac{1}{2}\operatorname{arctg}(\frac{3}{2}) + \frac{\pi m}{2}$, $m \in \mathbb{Z}$.

Эти корни также удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}$, $x = -\frac{1}{2}\operatorname{arctg}(\frac{3}{2}) + \frac{\pi m}{2}$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.

б) $\operatorname{tg}^2 3x - 6 \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - 3x) = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Функция $\operatorname{tg}(3x)$ определена, если $3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, т.е. $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$. Функция $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - 3x)$ определена, если $\frac{\pi}{2} - 3x \neq \pi n$, т.е. $3x \neq \frac{\pi}{2} - \pi n$. Оба условия эквивалентны, поэтому ОДЗ: $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Используем формулу приведения для котангенса: $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \operatorname{tg}(\alpha)$.

Тогда уравнение принимает вид:

$\operatorname{tg}^2 3x - 6 \operatorname{tg}(3x) = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $z = \operatorname{tg}(3x)$. Уравнение превращается в квадратное:

$z^2 - 6z = 0$

Вынесем $z$ за скобки:

$z(z - 6) = 0$

Отсюда получаем два возможных решения для $z$:

1) $z = 0$

2) $z - 6 = 0 \implies z = 6$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$ для каждого случая.

Случай 1: $\operatorname{tg}(3x) = 0$.

Решение этого уравнения:

$3x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Эти корни удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $\operatorname{tg}(3x) = 6$.

Решение этого уравнения:

$3x = \operatorname{arctg}(6) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{1}{3}\operatorname{arctg}(6) + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Эти корни также удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}$, $x = \frac{1}{3}\operatorname{arctg}(6) + \frac{\pi n}{3}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.