Номер 19.3, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§19. Синус и косинус суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 19.3, страница 59.

19.3 a) $ \sin \left(\frac{5\pi}{6} - \alpha\right) - \frac{1}{2} \cos \alpha;$

б) $ \sqrt{3} \cos \alpha - 2 \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right);$

в) $ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha + \cos\left(\alpha - \frac{5\pi}{3}\right);$

г) $ \sqrt{2} \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) - \sin \alpha.$

а) Для упрощения выражения $ \sin(\frac{5\pi}{6} - \alpha) - \frac{1}{2}\cos\alpha $ используем формулу синуса разности: $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $.

Применив формулу, получаем:

$ \sin(\frac{5\pi}{6} - \alpha) = \sin\frac{5\pi}{6}\cos\alpha - \cos\frac{5\pi}{6}\sin\alpha $.

Найдем значения тригонометрических функций для угла $ \frac{5\pi}{6} $:

$ \sin\frac{5\pi}{6} = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $

$ \cos\frac{5\pi}{6} = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Подставим эти значения в исходное выражение:

$ (\frac{1}{2}\cos\alpha - (-\frac{\sqrt{3}}{2})\sin\alpha) - \frac{1}{2}\cos\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha $.

После приведения подобных слагаемых $ \frac{1}{2}\cos\alpha $ и $ -\frac{1}{2}\cos\alpha $ взаимно уничтожаются:

$ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $

б) Упростим выражение $ \sqrt{3}\cos\alpha - 2\cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) $.

Применим формулу косинуса разности: $ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $.

$ \cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \cos\alpha\cos\frac{\pi}{6} + \sin\alpha\sin\frac{\pi}{6} $.

Значения тригонометрических функций для $ \frac{\pi}{6} $: $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $.

Подставляем в выражение для косинуса разности:

$ \cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin\alpha \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha $.

Теперь подставляем это в исходное выражение и раскрываем скобки:

$ \sqrt{3}\cos\alpha - 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha) = \sqrt{3}\cos\alpha - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - 2 \cdot \frac{1}{2}\sin\alpha $.

Упрощаем:

$ \sqrt{3}\cos\alpha - \sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha = -\sin\alpha $.

Ответ: $ -\sin\alpha $

в) Упростим выражение $ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + \cos(\alpha - \frac{5\pi}{3}) $.

Используем формулу косинуса разности: $ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $.

$ \cos(\alpha - \frac{5\pi}{3}) = \cos\alpha\cos\frac{5\pi}{3} + \sin\alpha\sin\frac{5\pi}{3} $.

Вычислим значения для угла $ \frac{5\pi}{3} $:

$ \cos\frac{5\pi}{3} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $.

$ \sin\frac{5\pi}{3} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Подставляем эти значения:

$ \cos(\alpha - \frac{5\pi}{3}) = \cos\alpha \cdot \frac{1}{2} + \sin\alpha \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $.

Подставляем полученное выражение в исходное:

$ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + (\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $.

После сокращения взаимно противоположных слагаемых $ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $ и $ -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $ получаем:

$ \frac{1}{2}\cos\alpha $.

Ответ: $ \frac{1}{2}\cos\alpha $

г) Упростим выражение $ \sqrt{2}\sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) - \sin\alpha $.

Воспользуемся формулой синуса разности: $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $.

$ \sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sin\alpha\cos\frac{\pi}{4} - \cos\alpha\sin\frac{\pi}{4} $.

Мы знаем, что $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Подставляем эти значения:

$ \sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha - \cos\alpha) $.

Теперь подставляем это в исходное выражение и раскрываем скобки:

$ \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha - \cos\alpha) - \sin\alpha = \frac{2}{2}(\sin\alpha - \cos\alpha) - \sin\alpha $.

Упрощаем:

$ 1 \cdot (\sin\alpha - \cos\alpha) - \sin\alpha = \sin\alpha - \cos\alpha - \sin\alpha $.

После приведения подобных слагаемых остается:

$ -\cos\alpha $.

Ответ: $ -\cos\alpha $