Номер 19.1, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§19. Синус и косинус суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 19.1, страница 59.

19.1 Представив $105^\circ$ как сумму $60^\circ + 45^\circ$, вычислите:

a) $\sin 105^\circ$;

б) $\cos 105^\circ$.

a) sin 105°
Для вычисления $\sin 105°$ представим угол $105°$ в виде суммы двух известных углов, как указано в условии: $105° = 60° + 45°$.
Воспользуемся формулой синуса суммы двух углов:
$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$
Подставим в формулу $\alpha = 60°$ и $\beta = 45°$:
$\sin(105°) = \sin(60° + 45°) = \sin 60° \cos 45° + \cos 60° \sin 45°$
Значения тригонометрических функций для этих углов являются табличными:
$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 60° = \frac{1}{2}$
$\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Подставим эти значения в выражение:
$\sin 105° = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
Ответ: $\sin 105° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

б) cos 105°
Аналогично, для вычисления $\cos 105°$ используем представление $105° = 60° + 45°$.
Воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов:
$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$
Подставим в формулу $\alpha = 60°$ и $\beta = 45°$:
$\cos(105°) = \cos(60° + 45°) = \cos 60° \cos 45° - \sin 60° \sin 45°$
Используем те же табличные значения тригонометрических функций:
$\cos 105° = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$
Ответ: $\cos 105° = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.