Номер 19.4, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§19. Синус и косинус суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 19.4, страница 59.

19.4 a) $\cos(\alpha - \beta) - \cos \alpha \cos \beta$;

б) $\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$;

В) $\sin \alpha \cos \beta - \sin(\alpha - \beta)$;

Г) $\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$.

а) Для упрощения выражения $cos(\alpha - \beta) - cos\alpha cos\beta$ воспользуемся формулой косинуса разности двух углов: $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$.
Подставим эту формулу в исходное выражение:
$(cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta) - cos\alpha cos\beta$
Теперь выполним вычитание. Слагаемые $cos\alpha cos\beta$ и $-cos\alpha cos\beta$ взаимно уничтожаются:
$cos\alpha cos\beta - cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta = sin\alpha sin\beta$
Ответ: $sin\alpha sin\beta$

б) Для упрощения выражения $sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности:
$sin(\alpha + \beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$
$sin(\alpha - \beta) = sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta$
Подставим эти формулы в исходное выражение:
$(sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta) + (sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta)$
Сгруппируем подобные слагаемые. Слагаемые $cos\alpha sin\beta$ и $-cos\alpha sin\beta$ взаимно уничтожаются:
$sin\alpha cos\beta + sin\alpha cos\beta = 2sin\alpha cos\beta$
Ответ: $2sin\alpha cos\beta$

в) Для упрощения выражения $sin\alpha cos\beta - sin(\alpha - \beta)$ применим формулу синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta$.
Подставим эту формулу в исходное выражение:
$sin\alpha cos\beta - (sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta)$
Раскроем скобки, обращая внимание на знак "минус" перед ними:
$sin\alpha cos\beta - sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$
Слагаемые $sin\alpha cos\beta$ и $-sin\alpha cos\beta$ взаимно уничтожаются:
$cos\alpha sin\beta$
Ответ: $cos\alpha sin\beta$

г) Для упрощения выражения $cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta)$ используем формулы косинуса разности и косинуса суммы:
$cos(\alpha - \beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$
$cos(\alpha + \beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$
Подставим эти формулы в исходное выражение:
$(cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta) - (cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta)$
Раскроем скобки:
$cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta - cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$
Сгруппируем подобные слагаемые. Слагаемые $cos\alpha cos\beta$ и $-cos\alpha cos\beta$ взаимно уничтожаются:
$sin\alpha sin\beta + sin\alpha sin\beta = 2sin\alpha sin\beta$
Ответ: $2sin\alpha sin\beta$