Номер 18.44, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.44, страница 58.

18.44 a) $|\cos x| = 2 \cos x - \sqrt{3} \sin x;$

б) $\sin x = \sqrt{3} \cos x + 2 |\sin x|.$

а) $| \cos x | = 2 \cos x - \sqrt{3} \sin x$

Для решения данного уравнения необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: $\cos x \ge 0$. Это условие выполняется для углов $x$ в I и IV координатных четвертях ($x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$).

В этом случае $|\cos x| = \cos x$, и уравнение принимает вид:

$\cos x = 2 \cos x - \sqrt{3} \sin x$

Перенесем члены уравнения:

$\sqrt{3} \sin x = 2 \cos x - \cos x$

$\sqrt{3} \sin x = \cos x$

Если предположить, что $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что $\sin x = 0$. Однако $\sin x$ и $\cos x$ не могут быть равны нулю одновременно. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{\sqrt{3} \sin x}{\cos x} = 1$

$\sqrt{3} \tan x = 1$

$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Общее решение для тангенса: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо отобрать те корни, которые удовлетворяют условию $\cos x \ge 0$.

• При четных $n$ (т.е. $n = 2k, k \in \mathbb{Z}$), получаем $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$. Эти углы находятся в I четверти, где $\cos x > 0$. Эти решения подходят.
• При нечетных $n$ (т.е. $n = 2k+1, k \in \mathbb{Z}$), получаем $x = \frac{\pi}{6} + \pi(2k+1) = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$. Эти углы находятся в III четверти, где $\cos x < 0$. Эти решения не удовлетворяют условию случая.

Таким образом, из первого случая получаем серию решений: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\cos x < 0$. Это условие выполняется для углов $x$ во II и III координатных четвертях ($x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$).

В этом случае $|\cos x| = -\cos x$, и уравнение принимает вид:

$-\cos x = 2 \cos x - \sqrt{3} \sin x$

$\sqrt{3} \sin x = 3 \cos x$

Разделив обе части на $\cos x \neq 0$, получаем:

$\sqrt{3} \tan x = 3$

$\tan x = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

Общее решение: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Отберем корни, удовлетворяющие условию $\cos x < 0$.

• При четных $n=2k$, получаем $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$. Эти углы находятся в I четверти, где $\cos x > 0$. Не подходят.
• При нечетных $n=2k+1$, получаем $x = \frac{\pi}{3} + \pi(2k+1) = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$. Эти углы находятся в III четверти, где $\cos x < 0$. Эти решения подходят.

Из второго случая получаем серию решений: $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x = \sqrt{3} \cos x + 2| \sin x |$

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим два случая.

Случай 1: $\sin x \ge 0$. (I и II координатные четверти, $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$).

В этом случае $|\sin x| = \sin x$. Уравнение становится:

$\sin x = \sqrt{3} \cos x + 2 \sin x$

$-\sin x = \sqrt{3} \cos x$

Разделим на $\cos x \neq 0$:

$-\tan x = \sqrt{3}$

$\tan x = -\sqrt{3}$

Общее решение: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выберем решения, для которых $\sin x \ge 0$.

• При нечетных $n=2k+1$, получаем $x = -\frac{\pi}{3} + \pi(2k+1) = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$. Углы во II четверти, где $\sin x > 0$. Решения подходят.
• При четных $n=2k$, получаем $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$. Углы в IV четверти, где $\sin x < 0$. Не подходят.

Из первого случая получаем серию решений: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\sin x < 0$. (III и IV координатные четверти, $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$).

В этом случае $|\sin x| = -\sin x$. Уравнение становится:

$\sin x = \sqrt{3} \cos x - 2 \sin x$

$3 \sin x = \sqrt{3} \cos x$

Разделим на $\cos x \neq 0$:

$3 \tan x = \sqrt{3}$

$\tan x = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Общее решение: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выберем решения, для которых $\sin x < 0$.

• При нечетных $n=2k+1$, получаем $x = \frac{\pi}{6} + \pi(2k+1) = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$. Углы в III четверти, где $\sin x < 0$. Решения подходят.
• При четных $n=2k$, получаем $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$. Углы в I четверти, где $\sin x > 0$. Не подходят.

Из второго случая получаем серию решений: $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.