Номер 19.6, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§19. Синус и косинус суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 19.6, страница 60.

19.6 a) $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = \sin \left(\frac{\pi}{3} - x\right);$

б) $\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \cos \left(\frac{\pi}{3} - x\right).$

a)

Рассмотрим уравнение $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$.

Преобразуем левую часть уравнения. Заметим, что коэффициенты при $\cos x$ и $\sin x$ являются значениями синуса и косинуса для угла $\frac{\pi}{3}$:

$\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.

Подставим эти значения в левую часть уравнения:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos x - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \sin x$.

Воспользуемся формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.

Применив эту формулу к левой части, где $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = x$, получим, что она равна $\sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$.

Таким образом, исходное уравнение принимает вид:

$\sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$.

Это равенство является тождеством, то есть оно верно для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$ (любое действительное число).

б)

Рассмотрим уравнение $\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$.

Преобразуем левую часть уравнения. Заметим, что коэффициенты при $\cos x$ и $\sin x$ являются значениями косинуса и синуса для угла $\frac{\pi}{3}$:

$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим эти значения в левую часть уравнения:

$\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos x + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \sin x$.

Воспользуемся формулой косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.

Применив эту формулу к левой части, где $\alpha = x$ и $\beta = \frac{\pi}{3}$, получим, что она равна $\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$.

Так как функция косинус является четной, то есть $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$, мы можем записать: $\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(-\left(\frac{\pi}{3} - x\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$.

Таким образом, исходное уравнение принимает вид:

$\cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$.

Это равенство также является тождеством и верно для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$ (любое действительное число).