Номер 19.12, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§19. Синус и косинус суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 19.12, страница 60.

Вычислите:

19.12 a) $\sin 77^\circ \cos 17^\circ - \sin 13^\circ \cos 73^\circ$;

б) $\cos 125^\circ \cos 5^\circ + \sin 55^\circ \cos 85^\circ$.

a)

Рассмотрим выражение $ \sin 77^\circ \cos 17^\circ - \sin 13^\circ \cos 73^\circ $.

Чтобы упростить это выражение, воспользуемся формулами приведения. Заметим, что некоторые углы в сумме дают $90^\circ$: $ 77^\circ + 13^\circ = 90^\circ $ и $ 73^\circ + 17^\circ = 90^\circ $. Это позволяет нам использовать формулы для дополнительных углов: $ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha $ и $ \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha $.

Преобразуем вторую часть выражения:

$ \sin 13^\circ = \sin(90^\circ - 77^\circ) = \cos 77^\circ $

$ \cos 73^\circ = \cos(90^\circ - 17^\circ) = \sin 17^\circ $

Теперь подставим эти преобразованные значения обратно в исходное выражение:

$ \sin 77^\circ \cos 17^\circ - \cos 77^\circ \sin 17^\circ $

Полученное выражение является формулой синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $, где $ \alpha = 77^\circ $ и $ \beta = 17^\circ $.

Применим эту формулу:

$ \sin(77^\circ - 17^\circ) = \sin(60^\circ) $

Значение синуса $60^\circ$ является табличным:

$ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

б)

Рассмотрим выражение $ \cos 125^\circ \cos 5^\circ + \sin 55^\circ \cos 85^\circ $.

Чтобы привести это выражение к одной из формул сложения, преобразуем некоторые функции с помощью формул приведения. Наша цель — получить одинаковые углы в выражении.

Преобразуем $ \sin 55^\circ $ и $ \cos 85^\circ $. Используя формулу $ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha $, получим:

$ \sin 55^\circ = \sin(180^\circ - 125^\circ) = \sin 125^\circ $

Используя формулу $ \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha $, получим:

$ \cos 85^\circ = \cos(90^\circ - 5^\circ) = \sin 5^\circ $

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ \cos 125^\circ \cos 5^\circ + \sin 125^\circ \sin 5^\circ $

Это выражение соответствует формуле косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $, где $ \alpha = 125^\circ $ и $ \beta = 5^\circ $.

Применим эту формулу:

$ \cos(125^\circ - 5^\circ) = \cos(120^\circ) $

Для нахождения значения $ \cos(120^\circ) $ снова используем формулу приведения $ \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha $:

$ \cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) $

Значение косинуса $60^\circ$ является табличным и равно $ \frac{1}{2} $.

$ -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} $

Ответ: $ -\frac{1}{2} $