Номер 19.17, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§19. Синус и косинус суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 19.17, страница 61.

19.17 a) $\sin 6x \cos x + \cos 6x \sin x = \frac{1}{2}$;

б) $\cos 5x \cos 7x - \sin 5x \sin 7x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

а) Дано уравнение: $ \sin 6x \cos x + \cos 6x \sin x = \frac{1}{2} $.

Левая часть этого уравнения представляет собой развернутую формулу синуса суммы двух углов: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.

В нашем случае $ \alpha = 6x $ и $ \beta = x $. Применяя формулу, "сворачиваем" левую часть:

$ \sin(6x + x) = \sin 7x $.

Таким образом, исходное уравнение упрощается до следующего вида:

$ \sin 7x = \frac{1}{2} $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его общее решение находится по формуле:

$ 7x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $ (n - любое целое число).

Мы знаем, что $ \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $. Подставляем это значение в уравнение:

$ 7x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n $.

Чтобы найти $ x $, разделим обе части равенства на 7:

$ x = \frac{(-1)^n \pi}{42} + \frac{\pi n}{7} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{(-1)^n \pi}{42} + \frac{\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z} $.

б) Дано уравнение: $ \cos 5x \cos 7x - \sin 5x \sin 7x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Выражение в левой части уравнения является формулой косинуса суммы двух углов: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $.

Здесь $ \alpha = 5x $ и $ \beta = 7x $. Используем формулу для упрощения уравнения:

$ \cos(5x + 7x) = \cos 12x $.

В результате получаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$ \cos 12x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Общее решение для уравнения вида $ \cos t = a $ записывается как $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi n $. Применим это к нашему случаю:

$ 12x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Значение арккосинуса равно $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6} $. Подставляем его:

$ 12x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $.

Теперь, чтобы выразить $ x $, делим обе части уравнения на 12:

$ x = \pm \frac{5\pi}{6 \cdot 12} + \frac{2\pi n}{12} $.

Упрощаем полученное выражение:

$ x = \pm \frac{5\pi}{72} + \frac{\pi n}{6} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \frac{5\pi}{72} + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z} $.