Номер 19.22, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§19. Синус и косинус суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 19.22, страница 62.

19.22 a) $\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1;$

б) $\sin x - \cos x = 1;$

В) $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = 1;$

Г) $\sqrt{3} \cos x + \sin x = 1.$

а)

Исходное уравнение: $\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1$.

Данное уравнение имеет вид $a \sin x + b \cos x = c$, где коэффициенты уже являются значениями синуса и косинуса известного угла. Заметим, что $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} = 1$

Левая часть уравнения является формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.

Применив эту формулу, получим:

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение имеет вид:

$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$:

$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$x = \frac{2\pi + \pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходное уравнение: $\sin x - \cos x = 1$.

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a=1$, $b=-1$. Для решения используем метод введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Заменим коэффициенты на тригонометрические функции: $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Применяем формулу синуса разности:

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решаем это уравнение:

$x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$

$x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$

Рассмотрим два случая для $n$:

1. Если $n=2k$ (четное), то $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

2. Если $n=2k+1$ (нечетное), то $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi(2k+1) = \pi + 2\pi k$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$; $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

в)

Исходное уравнение: $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x = 1$.

Перепишем уравнение для удобства: $\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = 1$.

Заметим, что $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3} = 1$

Левая часть является формулой синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.

$\sin(x + \frac{\pi}{3}) = 1$

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$x = \frac{3\pi - 2\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

г)

Исходное уравнение: $\sqrt{3}\cos x + \sin x = 1$.

Применим метод введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x = \frac{1}{2}$

Заметим, что $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

$\cos x \cos \frac{\pi}{6} + \sin x \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

Левая часть является формулой косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.

$\cos(x - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Решаем это уравнение:

$x - \frac{\pi}{6} = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Получаем две серии решений:

1. $x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{2\pi+\pi}{6} + 2\pi k = \frac{3\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

2. $x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{-2\pi+\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$; $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.