Номер 19.28, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. §19. Синус и косинус суммы и разности аргументов - номер 19.28, страница 63.

Условие.

19.28 Решите неравенство:

a) $ \sin x \cos 3x + \cos x \sin 3x > \frac{1}{2} $

б) $ \cos 2x \cos 5x - \sin 2x \sin 5x < -\frac{1}{3} $

в) $ \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{4} \sin \frac{x}{2} < \frac{1}{3} $

г) $ \sin 2x \sin 5x + \cos 2x \cos 5x > -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

а) $\sin x \cos 3x + \cos x \sin 3x > \frac{1}{2}$

Применим формулу синуса суммы углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.

В нашем случае $\alpha = x$ и $\beta = 3x$.

Неравенство принимает вид:

$\sin(x + 3x) > \frac{1}{2}$

$\sin(4x) > \frac{1}{2}$

Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. Обозначим $t = 4x$.

$\sin t > \frac{1}{2}$

На единичной окружности это соответствует дуге, заключенной между углами $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$. С учетом периодичности синуса, решение для $t$ будет:

$\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $t = 4x$:

$\frac{\pi}{6} + 2\pi k < 4x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$

Разделим все части неравенства на 4:

$\frac{\pi}{24} + \frac{2\pi k}{4} < x < \frac{5\pi}{24} + \frac{2\pi k}{4}$

$\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2} < x < \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}; \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2})$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos 2x \cos 5x - \sin 2x \sin 5x < -\frac{1}{3}$

Применим формулу косинуса суммы углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.

В данном случае $\alpha = 2x$ и $\beta = 5x$.

Неравенство преобразуется к виду:

$\cos(2x + 5x) < -\frac{1}{3}$

$\cos(7x) < -\frac{1}{3}$

Пусть $t = 7x$. Решаем неравенство $\cos t < -\frac{1}{3}$.

Решением неравенства $\cos t < c$ является интервал $(\arccos(c) + 2\pi k; 2\pi - \arccos(c) + 2\pi k)$.

В нашем случае $c = -\frac{1}{3}$. Решение для $t$:

$\arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k < t < 2\pi - \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = 7x$:

$\arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k < 7x < 2\pi - \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k$

Разделим все части на 7:

$\frac{1}{7}\arccos(-\frac{1}{3}) + \frac{2\pi k}{7} < x < \frac{2\pi}{7} - \frac{1}{7}\arccos(-\frac{1}{3}) + \frac{2\pi k}{7}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{7}\arccos(-\frac{1}{3}) + \frac{2\pi k}{7}; \frac{2\pi}{7} - \frac{1}{7}\arccos(-\frac{1}{3}) + \frac{2\pi k}{7})$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{4} \sin \frac{x}{2} < -\frac{1}{3}$

Применим формулу синуса разности углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.

Здесь $\alpha = \frac{x}{4}$ и $\beta = \frac{x}{2}$.

Неравенство принимает вид:

$\sin(\frac{x}{4} - \frac{x}{2}) < -\frac{1}{3}$

$\sin(-\frac{x}{4}) < -\frac{1}{3}$

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-y) = -\sin(y)$, получаем:

$-\sin(\frac{x}{4}) < -\frac{1}{3}$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$\sin(\frac{x}{4}) > \frac{1}{3}$

Обозначим $t = \frac{x}{4}$ и решим неравенство $\sin t > \frac{1}{3}$.

Решением неравенства $\sin t > c$ является интервал $(\arcsin(c) + 2\pi k; \pi - \arcsin(c) + 2\pi k)$.

В нашем случае $c = \frac{1}{3}$. Решение для $t$:

$\arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi k < t < \pi - \arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Произведем обратную замену $t = \frac{x}{4}$:

$\arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi k < \frac{x}{4} < \pi - \arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi k$

Умножим все части неравенства на 4:

$4\arcsin(\frac{1}{3}) + 8\pi k < x < 4\pi - 4\arcsin(\frac{1}{3}) + 8\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (4\arcsin(\frac{1}{3}) + 8\pi k; 4\pi - 4\arcsin(\frac{1}{3}) + 8\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) $\sin 2x \sin 5x + \cos 2x \cos 5x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Применим формулу косинуса разности углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.

Запишем левую часть в стандартном виде: $\cos 2x \cos 5x + \sin 2x \sin 5x$.

Здесь можно взять $\alpha = 5x$ и $\beta = 2x$ (или наоборот, результат будет тот же, так как косинус - четная функция).

Неравенство преобразуется к виду:

$\cos(5x - 2x) > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(3x) > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Пусть $t = 3x$. Решаем неравенство $\cos t > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решением неравенства $\cos t > c$ является интервал $(-\arccos(c) + 2\pi k; \arccos(c) + 2\pi k)$.

Найдем $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$.

Решение для $t$:

$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим обратно $t = 3x$:

$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < 3x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$

Разделим все части неравенства на 3:

$-\frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} < x < \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}; \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3})$, где $k \in \mathbb{Z}$.