Номер 19.28, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов


Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§19. Синус и косинус суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 19.28, страница 63.
№19.28 (с. 63)
Условие. №19.28 (с. 63)
скриншот условия

19.28 Решите неравенство:
a) $ \sin x \cos 3x + \cos x \sin 3x > \frac{1}{2} $
б) $ \cos 2x \cos 5x - \sin 2x \sin 5x < -\frac{1}{3} $
в) $ \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{4} \sin \frac{x}{2} < \frac{1}{3} $
г) $ \sin 2x \sin 5x + \cos 2x \cos 5x > -\frac{\sqrt{3}}{2} $
Решение 2. №19.28 (с. 63)


Решение 5. №19.28 (с. 63)



Решение 6. №19.28 (с. 63)
а) $\sin x \cos 3x + \cos x \sin 3x > \frac{1}{2}$
Применим формулу синуса суммы углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.
В нашем случае $\alpha = x$ и $\beta = 3x$.
Неравенство принимает вид:
$\sin(x + 3x) > \frac{1}{2}$
$\sin(4x) > \frac{1}{2}$
Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. Обозначим $t = 4x$.
$\sin t > \frac{1}{2}$
На единичной окружности это соответствует дуге, заключенной между углами $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$. С учетом периодичности синуса, решение для $t$ будет:
$\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $t = 4x$:
$\frac{\pi}{6} + 2\pi k < 4x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$
Разделим все части неравенства на 4:
$\frac{\pi}{24} + \frac{2\pi k}{4} < x < \frac{5\pi}{24} + \frac{2\pi k}{4}$
$\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2} < x < \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}; \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2})$, где $k \in \mathbb{Z}$.
б) $\cos 2x \cos 5x - \sin 2x \sin 5x < -\frac{1}{3}$
Применим формулу косинуса суммы углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.
В данном случае $\alpha = 2x$ и $\beta = 5x$.
Неравенство преобразуется к виду:
$\cos(2x + 5x) < -\frac{1}{3}$
$\cos(7x) < -\frac{1}{3}$
Пусть $t = 7x$. Решаем неравенство $\cos t < -\frac{1}{3}$.
Решением неравенства $\cos t < c$ является интервал $(\arccos(c) + 2\pi k; 2\pi - \arccos(c) + 2\pi k)$.
В нашем случае $c = -\frac{1}{3}$. Решение для $t$:
$\arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k < t < 2\pi - \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену $t = 7x$:
$\arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k < 7x < 2\pi - \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k$
Разделим все части на 7:
$\frac{1}{7}\arccos(-\frac{1}{3}) + \frac{2\pi k}{7} < x < \frac{2\pi}{7} - \frac{1}{7}\arccos(-\frac{1}{3}) + \frac{2\pi k}{7}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\frac{1}{7}\arccos(-\frac{1}{3}) + \frac{2\pi k}{7}; \frac{2\pi}{7} - \frac{1}{7}\arccos(-\frac{1}{3}) + \frac{2\pi k}{7})$, где $k \in \mathbb{Z}$.
в) $\sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{4} \sin \frac{x}{2} < -\frac{1}{3}$
Применим формулу синуса разности углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.
Здесь $\alpha = \frac{x}{4}$ и $\beta = \frac{x}{2}$.
Неравенство принимает вид:
$\sin(\frac{x}{4} - \frac{x}{2}) < -\frac{1}{3}$
$\sin(-\frac{x}{4}) < -\frac{1}{3}$
Используя свойство нечетности синуса $\sin(-y) = -\sin(y)$, получаем:
$-\sin(\frac{x}{4}) < -\frac{1}{3}$
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:
$\sin(\frac{x}{4}) > \frac{1}{3}$
Обозначим $t = \frac{x}{4}$ и решим неравенство $\sin t > \frac{1}{3}$.
Решением неравенства $\sin t > c$ является интервал $(\arcsin(c) + 2\pi k; \pi - \arcsin(c) + 2\pi k)$.
В нашем случае $c = \frac{1}{3}$. Решение для $t$:
$\arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi k < t < \pi - \arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Произведем обратную замену $t = \frac{x}{4}$:
$\arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi k < \frac{x}{4} < \pi - \arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi k$
Умножим все части неравенства на 4:
$4\arcsin(\frac{1}{3}) + 8\pi k < x < 4\pi - 4\arcsin(\frac{1}{3}) + 8\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (4\arcsin(\frac{1}{3}) + 8\pi k; 4\pi - 4\arcsin(\frac{1}{3}) + 8\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
г) $\sin 2x \sin 5x + \cos 2x \cos 5x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Применим формулу косинуса разности углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.
Запишем левую часть в стандартном виде: $\cos 2x \cos 5x + \sin 2x \sin 5x$.
Здесь можно взять $\alpha = 5x$ и $\beta = 2x$ (или наоборот, результат будет тот же, так как косинус - четная функция).
Неравенство преобразуется к виду:
$\cos(5x - 2x) > -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos(3x) > -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Пусть $t = 3x$. Решаем неравенство $\cos t > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решением неравенства $\cos t > c$ является интервал $(-\arccos(c) + 2\pi k; \arccos(c) + 2\pi k)$.
Найдем $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$.
Решение для $t$:
$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Подставим обратно $t = 3x$:
$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < 3x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$
Разделим все части неравенства на 3:
$-\frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} < x < \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}; \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3})$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 19.28 расположенного на странице 63 для 2-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №19.28 (с. 63), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.