Номер 19.27, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§19. Синус и косинус суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 19.27, страница 63.

19.27 Зная, что $ \sin \alpha = \frac{4}{5} $, $ \cos \beta = -\frac{15}{17} $, $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $, $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi $, найдите значение выражения:

a) $ \sin(\alpha - \beta) $;

б) $ \cos(\alpha - \beta) $.

Для решения задачи нам необходимо найти значения $ \cos \alpha $ и $ \sin \beta $, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и информацию о четвертях, в которых находятся углы.

1. Найдём $ \cos \alpha $.
Дано, что $ \sin \alpha = \frac{4}{5} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $. Это означает, что угол $ \alpha $ находится во второй координатной четверти, где косинус отрицателен.
$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} $.
Так как $ \cos \alpha < 0 $, то $ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5} $.

2. Найдём $ \sin \beta $.
Дано, что $ \cos \beta = -\frac{15}{17} $ и $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi $. Это означает, что угол $ \beta $ также находится во второй координатной четверти, где синус положителен.
$ \sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - \left(-\frac{15}{17}\right)^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289} $.
Так как $ \sin \beta > 0 $, то $ \sin \beta = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17} $.

Теперь, имея все необходимые значения ($ \sin \alpha = \frac{4}{5}, \cos \alpha = -\frac{3}{5}, \sin \beta = \frac{8}{17}, \cos \beta = -\frac{15}{17} $), мы можем вычислить требуемые выражения.

a) sin(α − β)

Используем формулу синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.
Подставляем значения:
$ \sin(\alpha - \beta) = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{15}{17}\right) - \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{8}{17} = -\frac{60}{85} + \frac{24}{85} = -\frac{36}{85} $.
Ответ: $ -\frac{36}{85} $.

б) cos(α − β)

Используем формулу косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $.
Подставляем значения:
$ \cos(\alpha - \beta) = \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{15}{17}\right) + \frac{4}{5} \cdot \frac{8}{17} = \frac{45}{85} + \frac{32}{85} = \frac{77}{85} $.
Ответ: $ \frac{77}{85} $.