Номер 19.25, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§19. Синус и косинус суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 19.25, страница 62.

19.25 Зная, что $\cos t = -\frac{5}{13}$, $\frac{\pi}{2} < t < \pi$, вычислите:

a) $\sin \left(t - \frac{\pi}{6}\right)$;

б) $\cos \left(t - \frac{3\pi}{2}\right)$;

в) $\cos \left(t - \frac{\pi}{6}\right)$;

г) $\sin \left(t - \frac{3\pi}{2}\right)$.

По условию задачи дано $ \cos t = -\frac{5}{13} $ и $ \frac{\pi}{2} < t < \pi $. Это означает, что угол $t$ находится во второй четверти координатной плоскости.

Для дальнейших вычислений нам понадобится значение $ \sin t $. Найдем его, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $.

$ \sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} $

Так как угол $t$ находится во второй четверти, где синус является положительной функцией, мы выбираем положительное значение корня:

$ \sin t = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} $.

Теперь мы можем приступить к вычислению заданных выражений.

а) $ \sin\left(t - \frac{\pi}{6}\right) $

Используем формулу синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $.

$ \sin\left(t - \frac{\pi}{6}\right) = \sin t \cos\frac{\pi}{6} - \cos t \sin\frac{\pi}{6} $

Подставляем известные значения $ \sin t = \frac{12}{13} $, $ \cos t = -\frac{5}{13} $, $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $:

$ \sin\left(t - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{12}{13} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \left(-\frac{5}{13}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{26} + \frac{5}{26} = \frac{12\sqrt{3} + 5}{26} $.

Ответ: $ \frac{12\sqrt{3} + 5}{26} $.

б) $ \cos\left(t - \frac{3\pi}{2}\right) $

Используем формулу косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $.

$ \cos\left(t - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos t \cos\frac{3\pi}{2} + \sin t \sin\frac{3\pi}{2} $

Подставляем известные значения $ \cos t = -\frac{5}{13} $, $ \sin t = \frac{12}{13} $, $ \cos\frac{3\pi}{2} = 0 $ и $ \sin\frac{3\pi}{2} = -1 $:

$ \cos\left(t - \frac{3\pi}{2}\right) = \left(-\frac{5}{13}\right) \cdot 0 + \frac{12}{13} \cdot (-1) = 0 - \frac{12}{13} = -\frac{12}{13} $.

Ответ: $ -\frac{12}{13} $.

в) $ \cos\left(t - \frac{\pi}{6}\right) $

Используем формулу косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $.

$ \cos\left(t - \frac{\pi}{6}\right) = \cos t \cos\frac{\pi}{6} + \sin t \sin\frac{\pi}{6} $

Подставляем известные значения:

$ \cos\left(t - \frac{\pi}{6}\right) = \left(-\frac{5}{13}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{12}{13} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{5\sqrt{3}}{26} + \frac{12}{26} = \frac{12 - 5\sqrt{3}}{26} $.

Ответ: $ \frac{12 - 5\sqrt{3}}{26} $.

г) $ \sin\left(t - \frac{3\pi}{2}\right) $

Используем формулу синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $.

$ \sin\left(t - \frac{3\pi}{2}\right) = \sin t \cos\frac{3\pi}{2} - \cos t \sin\frac{3\pi}{2} $

Подставляем известные значения:

$ \sin\left(t - \frac{3\pi}{2}\right) = \frac{12}{13} \cdot 0 - \left(-\frac{5}{13}\right) \cdot (-1) = 0 - \frac{5}{13} = -\frac{5}{13} $.

Ответ: $ -\frac{5}{13} $.