Номер 20.3, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§20. Тангенс суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 20.3, страница 63.

20.3 a) tg $(\frac{\pi}{4} - \alpha)$, если tg $\alpha = \frac{2}{3}$;

б) tg $(\alpha + \frac{\pi}{3})$, если tg $\alpha = \frac{4}{5}$;

в) tg $(\frac{\pi}{2} + \alpha)$, если ctg $\alpha = \frac{4}{3}$;

г) tg $(\alpha - \frac{\pi}{4})$, если ctg $\alpha = 1,6$.

а) Для решения используем формулу тангенса разности: $\text{tg}(\beta - \gamma) = \frac{\text{tg}\,\beta - \text{tg}\,\gamma}{1 + \text{tg}\,\beta \cdot \text{tg}\,\gamma}$.

В нашем случае $\beta = \frac{\pi}{4}$ и $\gamma = \alpha$. Известно, что $\text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$ и по условию $\text{tg}\,\alpha = \frac{2}{3}$.

Подставляем значения в формулу:

$\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4} - \text{tg}\,\alpha}{1 + \text{tg}\frac{\pi}{4} \cdot \text{tg}\,\alpha} = \frac{1 - \frac{2}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{2}{3}} = \frac{\frac{3-2}{3}}{\frac{3+2}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

б) Для решения используем формулу тангенса суммы: $\text{tg}(\beta + \gamma) = \frac{\text{tg}\,\beta + \text{tg}\,\gamma}{1 - \text{tg}\,\beta \cdot \text{tg}\,\gamma}$.

В данном случае $\beta = \alpha$ и $\gamma = \frac{\pi}{3}$. Известно, что $\text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ и по условию $\text{tg}\,\alpha = \frac{4}{5}$.

Подставляем значения в формулу:

$\text{tg}\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\text{tg}\,\alpha + \text{tg}\frac{\pi}{3}}{1 - \text{tg}\,\alpha \cdot \text{tg}\frac{\pi}{3}} = \frac{\frac{4}{5} + \sqrt{3}}{1 - \frac{4}{5}\sqrt{3}} = \frac{\frac{4+5\sqrt{3}}{5}}{\frac{5-4\sqrt{3}}{5}} = \frac{4+5\sqrt{3}}{5-4\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(5+4\sqrt{3})$:

$\frac{4+5\sqrt{3}}{5-4\sqrt{3}} \cdot \frac{5+4\sqrt{3}}{5+4\sqrt{3}} = \frac{4 \cdot 5 + 4 \cdot 4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} \cdot 5 + 5\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}}{5^2 - (4\sqrt{3})^2} = \frac{20 + 16\sqrt{3} + 25\sqrt{3} + 60}{25 - 16 \cdot 3} = \frac{80 + 41\sqrt{3}}{25-48} = \frac{80 + 41\sqrt{3}}{-23} = -\frac{80 + 41\sqrt{3}}{23}$.

Ответ: $-\frac{80 + 41\sqrt{3}}{23}$.

в) Используем формулу приведения для тангенса: $\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\text{ctg}\,\alpha$.

По условию дано, что $\text{ctg}\,\alpha = \frac{4}{3}$.

Подставляем это значение в формулу:

$\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\frac{4}{3}$.

Ответ: $-\frac{4}{3}$.

г) Сначала найдем $\text{tg}\,\alpha$, зная $\text{ctg}\,\alpha$.

По условию $\text{ctg}\,\alpha = 1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$.

Так как $\text{tg}\,\alpha = \frac{1}{\text{ctg}\,\alpha}$, то $\text{tg}\,\alpha = \frac{1}{8/5} = \frac{5}{8}$.

Теперь используем формулу тангенса разности: $\text{tg}(\beta - \gamma) = \frac{\text{tg}\,\beta - \text{tg}\,\gamma}{1 + \text{tg}\,\beta \cdot \text{tg}\,\gamma}$.

В нашем случае $\beta = \alpha$ и $\gamma = \frac{\pi}{4}$. Известно, что $\text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$.

Подставляем значения в формулу:

$\text{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{tg}\,\alpha - \text{tg}\frac{\pi}{4}}{1 + \text{tg}\,\alpha \cdot \text{tg}\frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{5}{8} - 1}{1 + \frac{5}{8} \cdot 1} = \frac{\frac{5-8}{8}}{\frac{8+5}{8}} = \frac{-\frac{3}{8}}{\frac{13}{8}} = -\frac{3}{13}$.

Ответ: $-\frac{3}{13}$.