gdz.top
Номер 20.8, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов
Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§20. Тангенс суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 20.8, страница 64.
№20.7
№20.8 (с. 64)
Условие. №20.8 (с. 64)
скриншот условия
20.8 Докажите тождество:
а) $\frac{1 - \operatorname{tg} 2\alpha}{1 + \operatorname{tg} 2\alpha} = \operatorname{tg} (45^\circ - 2\alpha);$
б) $\frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} (\alpha + \beta)} + \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} (\alpha - \beta)} = 2.$
Решение 1. №20.8 (с. 64)
Решение 2. №20.8 (с. 64)
Решение 3. №20.8 (с. 64)
Решение 5. №20.8 (с. 64)
Решение 6. №20.8 (с. 64)
а) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся известным значением тангенса: $ \tg 45^\circ = 1 $.
Подставим это значение в левую часть равенства:
$ \frac{1 - \tg 2\alpha}{1 + \tg 2\alpha} = \frac{\tg 45^\circ - \tg 2\alpha}{1 + 1 \cdot \tg 2\alpha} = \frac{\tg 45^\circ - \tg 2\alpha}{1 + \tg 45^\circ \cdot \tg 2\alpha} $
Полученное выражение представляет собой правую часть формулы тангенса разности двух углов:
$ \tg(x - y) = \frac{\tg x - \tg y}{1 + \tg x \tg y} $
Применив эту формулу для $ x = 45^\circ $ и $ y = 2\alpha $, получаем:
$ \frac{\tg 45^\circ - \tg 2\alpha}{1 + \tg 45^\circ \cdot \tg 2\alpha} = \tg(45^\circ - 2\alpha) $
Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.
б) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Вспомним формулы тангенса суммы и разности углов:
$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta} $
$ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta} $
Преобразуем каждое слагаемое в левой части исходного выражения по отдельности.
Первое слагаемое:
$ \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{\tg(\alpha + \beta)} = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{\frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta}} = (\tg \alpha + \tg \beta) \cdot \frac{1 - \tg \alpha \tg \beta}{\tg \alpha + \tg \beta} = 1 - \tg \alpha \tg \beta $
Второе слагаемое:
$ \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{\tg(\alpha - \beta)} = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{\frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta}} = (\tg \alpha - \tg \beta) \cdot \frac{1 + \tg \alpha \tg \beta}{\tg \alpha - \tg \beta} = 1 + \tg \alpha \tg \beta $
Теперь сложим полученные результаты:
$ (1 - \tg \alpha \tg \beta) + (1 + \tg \alpha \tg \beta) = 1 - \tg \alpha \tg \beta + 1 + \tg \alpha \tg \beta = 2 $
Левая часть тождества равна 2, что соответствует правой части. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 20.8 расположенного на странице 64 для 2-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №20.8 (с. 64), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.