Номер 20.8, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. §20. Тангенс суммы и разности аргументов - номер 20.8, страница 64.

Условие.

20.8 Докажите тождество:

а) $\frac{1 - \operatorname{tg} 2\alpha}{1 + \operatorname{tg} 2\alpha} = \operatorname{tg} (45^\circ - 2\alpha);$

б) $\frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} (\alpha + \beta)} + \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} (\alpha - \beta)} = 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся известным значением тангенса: $ \tg 45^\circ = 1 $.

Подставим это значение в левую часть равенства:

$ \frac{1 - \tg 2\alpha}{1 + \tg 2\alpha} = \frac{\tg 45^\circ - \tg 2\alpha}{1 + 1 \cdot \tg 2\alpha} = \frac{\tg 45^\circ - \tg 2\alpha}{1 + \tg 45^\circ \cdot \tg 2\alpha} $

Полученное выражение представляет собой правую часть формулы тангенса разности двух углов:

$ \tg(x - y) = \frac{\tg x - \tg y}{1 + \tg x \tg y} $

Применив эту формулу для $ x = 45^\circ $ и $ y = 2\alpha $, получаем:

$ \frac{\tg 45^\circ - \tg 2\alpha}{1 + \tg 45^\circ \cdot \tg 2\alpha} = \tg(45^\circ - 2\alpha) $

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

---

б) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Вспомним формулы тангенса суммы и разности углов:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta} $

$ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta} $

Преобразуем каждое слагаемое в левой части исходного выражения по отдельности.

Первое слагаемое:

$ \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{\tg(\alpha + \beta)} = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{\frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta}} = (\tg \alpha + \tg \beta) \cdot \frac{1 - \tg \alpha \tg \beta}{\tg \alpha + \tg \beta} = 1 - \tg \alpha \tg \beta $

Второе слагаемое:

$ \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{\tg(\alpha - \beta)} = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{\frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta}} = (\tg \alpha - \tg \beta) \cdot \frac{1 + \tg \alpha \tg \beta}{\tg \alpha - \tg \beta} = 1 + \tg \alpha \tg \beta $

Теперь сложим полученные результаты:

$ (1 - \tg \alpha \tg \beta) + (1 + \tg \alpha \tg \beta) = 1 - \tg \alpha \tg \beta + 1 + \tg \alpha \tg \beta = 2 $

Левая часть тождества равна 2, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.