Номер 20.14, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§20. Тангенс суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 20.14, страница 65.

20.14 Известно, что $cos \alpha = \frac{3}{5}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Найдите:

a) $tg \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right)$;

б) $tg \left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right)$.

По условию задачи известно, что $cos \alpha = \frac{3}{5}$ и угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$). Для решения задачи нам понадобится значение $tg \alpha$. Найдем его.

Сначала найдем $sin \alpha$, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.

$sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25}$.

Так как угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), $sin \alpha$ имеет положительное значение:

$sin \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Теперь найдем $tg \alpha$ по определению: $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$.

$tg \alpha = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.

Теперь мы можем приступить к решению подпунктов.

а) $tg(\alpha + \frac{\pi}{3})$

Воспользуемся формулой тангенса суммы: $tg(x+y) = \frac{tg x + tg y}{1 - tg x \cdot tg y}$.

В нашем случае $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{3}$. Значение $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

Подставим известные значения в формулу:

$tg(\alpha + \frac{\pi}{3}) = \frac{tg \alpha + tg(\frac{\pi}{3})}{1 - tg \alpha \cdot tg(\frac{\pi}{3})} = \frac{\frac{4}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{4}{3} \cdot \sqrt{3}}$.

Упростим полученное выражение. Сначала преобразуем числитель и знаменатель:

Числитель: $\frac{4}{3} + \sqrt{3} = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{3}$.

Знаменатель: $1 - \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{3 - 4\sqrt{3}}{3}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$tg(\alpha + \frac{\pi}{3}) = \frac{\frac{4 + 3\sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - 4\sqrt{3}}{3}} = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{3 - 4\sqrt{3}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $3 + 4\sqrt{3}$:

$\frac{(4 + 3\sqrt{3})(3 + 4\sqrt{3})}{(3 - 4\sqrt{3})(3 + 4\sqrt{3})} = \frac{4 \cdot 3 + 4 \cdot 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} \cdot 3 + 3\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}}{3^2 - (4\sqrt{3})^2} = \frac{12 + 16\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 12 \cdot 3}{9 - 16 \cdot 3} = \frac{12 + 25\sqrt{3} + 36}{9 - 48} = \frac{48 + 25\sqrt{3}}{-39} = -\frac{48 + 25\sqrt{3}}{39}$.

Ответ: $-\frac{48 + 25\sqrt{3}}{39}$.

б) $tg(\alpha - \frac{\pi}{3})$

Воспользуемся формулой тангенса разности: $tg(x-y) = \frac{tg x - tg y}{1 + tg x \cdot tg y}$.

В нашем случае $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{3}$.

Подставим известные значения в формулу:

$tg(\alpha - \frac{\pi}{3}) = \frac{tg \alpha - tg(\frac{\pi}{3})}{1 + tg \alpha \cdot tg(\frac{\pi}{3})} = \frac{\frac{4}{3} - \sqrt{3}}{1 + \frac{4}{3} \cdot \sqrt{3}}$.

Упростим выражение. Преобразуем числитель и знаменатель:

Числитель: $\frac{4}{3} - \sqrt{3} = \frac{4 - 3\sqrt{3}}{3}$.

Знаменатель: $1 + \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{3 + 4\sqrt{3}}{3}$.

Разделим числитель на знаменатель:

$tg(\alpha - \frac{\pi}{3}) = \frac{\frac{4 - 3\sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + 4\sqrt{3}}{3}} = \frac{4 - 3\sqrt{3}}{3 + 4\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $3 - 4\sqrt{3}$:

$\frac{(4 - 3\sqrt{3})(3 - 4\sqrt{3})}{(3 + 4\sqrt{3})(3 - 4\sqrt{3})} = \frac{4 \cdot 3 - 4 \cdot 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \cdot 3 + 3\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}}{3^2 - (4\sqrt{3})^2} = \frac{12 - 16\sqrt{3} - 9\sqrt{3} + 12 \cdot 3}{9 - 16 \cdot 3} = \frac{12 - 25\sqrt{3} + 36}{9 - 48} = \frac{48 - 25\sqrt{3}}{-39} = -\frac{48 - 25\sqrt{3}}{39} = \frac{25\sqrt{3} - 48}{39}$.

Ответ: $\frac{25\sqrt{3} - 48}{39}$.