Номер 20.7, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. §20. Тангенс суммы и разности аргументов - номер 20.7, страница 64.

Условие.

20.7 a) $\frac{\operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{8} + \alpha\right) + \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{8} - \alpha\right)}{1 - \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{8} + \alpha\right) \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{8} - \alpha\right)}$

б) $\frac{\operatorname{tg} (45^{\circ} + \alpha) - \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} (45^{\circ} + \alpha) \operatorname{tg} \alpha}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Данное выражение представляет собой формулу тангенса суммы двух углов, которая имеет вид: $ \tg(x+y) = \frac{\tg x + \tg y}{1 - \tg x \tg y} $. В нашем случае $ x = \frac{\pi}{8} + \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{8} - \alpha $. Следовательно, мы можем свернуть выражение по этой формуле: $ \frac{\tg(\frac{\pi}{8} + \alpha) + \tg(\frac{\pi}{8} - \alpha)}{1 - \tg(\frac{\pi}{8} + \alpha) \tg(\frac{\pi}{8} - \alpha)} = \tg\left(\left(\frac{\pi}{8} + \alpha\right) + \left(\frac{\pi}{8} - \alpha\right)\right) $. Теперь упростим аргумент тангенса: $ \left(\frac{\pi}{8} + \alpha\right) + \left(\frac{\pi}{8} - \alpha\right) = \frac{\pi}{8} + \alpha + \frac{\pi}{8} - \alpha = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} $. Таким образом, исходное выражение равно $ \tg(\frac{\pi}{4}) $, что равно 1.
Ответ: 1

б) Данное выражение представляет собой формулу тангенса разности двух углов, которая имеет вид: $ \tg(x-y) = \frac{\tg x - \tg y}{1 + \tg x \tg y} $. В нашем случае $ x = 45^\circ + \alpha $ и $ y = \alpha $. Следовательно, мы можем свернуть выражение по этой формуле: $ \frac{\tg(45^\circ + \alpha) - \tg \alpha}{1 + \tg(45^\circ + \alpha) \tg \alpha} = \tg((45^\circ + \alpha) - \alpha) $. Теперь упростим аргумент тангенса: $ (45^\circ + \alpha) - \alpha = 45^\circ + \alpha - \alpha = 45^\circ $. Таким образом, исходное выражение равно $ \tg(45^\circ) $, что равно 1.
Ответ: 1