Номер 20.9, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§20. Тангенс суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 20.9, страница 64.

20.9 Решите уравнение:

а) $\frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} 3x}{1 - \operatorname{tg} x \operatorname{tg} 3x} = 1;$

б) $\frac{\operatorname{tg} 5x - \operatorname{tg} 3x}{1 + \operatorname{tg} 3x \operatorname{tg} 5x} = \sqrt{3}.$

а) Исходное уравнение: $\frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} 3x}{1 - \operatorname{tg} x \operatorname{tg} 3x} = 1$.

Левая часть уравнения является формулой тангенса суммы двух углов: $\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}\beta}$.

Применив эту формулу для $\alpha=x$ и $\beta=3x$, получаем:

$\operatorname{tg}(x + 3x) = \operatorname{tg}(4x)$.

Таким образом, исходное уравнение сводится к простейшему тригонометрическому уравнению:

$\operatorname{tg}(4x) = 1$.

Решение этого уравнения имеет вид:

$4x = \arctan(1) + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$.

$4x = \frac{\pi}{4} + \pi n$.

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения определяется условиями существования тангенсов: $\cos x \neq 0$ и $\cos 3x \neq 0$. Также знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $1 - \operatorname{tg} x \operatorname{tg} 3x \neq 0$, что эквивалентно $\operatorname{tg}(4x)$ должен быть определен, то есть $\cos(4x) \neq 0$. Наше решение $\operatorname{tg}(4x)=1$ это условие удовлетворяет.

Проверим, что найденные значения $x$ удовлетворяют условиям $\cos x \neq 0$ и $\cos 3x \neq 0$. Можно показать, что равенства $\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k$ и $\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$ не имеют решений в целых числах $n, k$. Следовательно, все найденные корни входят в ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\frac{\operatorname{tg} 5x - \operatorname{tg} 3x}{1 + \operatorname{tg} 3x \operatorname{tg} 5x} = \sqrt{3}$.

Левая часть уравнения является формулой тангенса разности двух углов: $\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}\beta}$.

Применив эту формулу для $\alpha=5x$ и $\beta=3x$, получаем:

$\operatorname{tg}(5x - 3x) = \operatorname{tg}(2x)$.

Таким образом, исходное уравнение сводится к уравнению:

$\operatorname{tg}(2x) = \sqrt{3}$.

Решение этого уравнения имеет вид:

$2x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

$2x = \frac{\pi}{3} + \pi k$.

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения определяется условиями: $\cos 5x \neq 0$ и $\cos 3x \neq 0$.

Проверим найденное решение на соответствие ОДЗ.
1. Условие $\cos 5x \neq 0$ означает $5x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x \neq \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}$. Можно убедиться, что равенство $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}$ не имеет решений в целых числах.
2. Условие $\cos 3x \neq 0$ означает $3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}$.

Найдем, при каких целых $k$ наше решение $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$ совпадает с недопустимыми значениями $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}$:

$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}$

$\frac{k}{2} = \frac{m}{3} \implies 3k = 2m$.

Это равенство возможно только в том случае, если $k$ является четным числом (так как правая часть $2m$ четная, то и левая $3k$ должна быть четной, что возможно только при четном $k$).
Следовательно, из серии решений $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$ необходимо исключить те, для которых $k$ — четное число. Это означает, что $k$ должно быть нечетным.

Представим нечетное число $k$ в виде $k = 2n + 1$, где $n \in \mathbb{Z}$. Подставим это в наше решение:

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi (2n+1)}{2} = \frac{\pi}{6} + \pi n + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi + 3\pi}{6} + \pi n = \frac{4\pi}{6} + \pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi n$.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.