Номер 20.11, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§20. Тангенс суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 20.11, страница 64.

20.11 a) Найдите $tg \alpha$, если $tg \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) = 3.$

б) Найдите $ctg \alpha$, если $tg \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = 0,2.$

а) Для решения данной задачи воспользуемся формулой тангенса разности двух углов:

$ \text{tg}(x-y) = \frac{\text{tg}x - \text{tg}y}{1 + \text{tg}x \cdot \text{tg}y} $

В нашем случае $ x = \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{4} $. Из условия известно, что $ \text{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = 3 $. Также мы знаем, что $ \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1 $.

Подставим эти значения в формулу:

$ 3 = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\frac{\pi}{4}}{1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\frac{\pi}{4}} $

$ 3 = \frac{\text{tg}\alpha - 1}{1 + \text{tg}\alpha \cdot 1} $

Для удобства введем замену: пусть $ t = \text{tg}\alpha $. Тогда уравнение примет вид:

$ 3 = \frac{t - 1}{1 + t} $

Решим это уравнение относительно $ t $:

$ 3(1 + t) = t - 1 $

$ 3 + 3t = t - 1 $

$ 3t - t = -1 - 3 $

$ 2t = -4 $

$ t = -2 $

Следовательно, $ \text{tg}\alpha = -2 $.

Ответ: $ -2 $.

б) Для решения этой задачи используем формулу тангенса суммы двух углов:

$ \text{tg}(x+y) = \frac{\text{tg}x + \text{tg}y}{1 - \text{tg}x \cdot \text{tg}y} $

В данном случае $ x = \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{4} $. По условию $ \text{tg}\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = 0,2 $. Значение $ \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1 $.

Подставляем известные значения в формулу:

$ 0,2 = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\frac{\pi}{4}}{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\frac{\pi}{4}} $

$ 0,2 = \frac{\text{tg}\alpha + 1}{1 - \text{tg}\alpha \cdot 1} $

Пусть $ t = \text{tg}\alpha $. Уравнение будет выглядеть так:

$ 0,2 = \frac{t + 1}{1 - t} $

Решим это уравнение относительно $ t $:

$ 0,2(1 - t) = t + 1 $

$ 0,2 - 0,2t = t + 1 $

$ -0,2t - t = 1 - 0,2 $

$ -1,2t = 0,8 $

$ t = -\frac{0,8}{1,2} = -\frac{8}{12} = -\frac{2}{3} $

Мы нашли, что $ \text{tg}\alpha = -\frac{2}{3} $. В задаче требуется найти $ \text{ctg}\alpha $. Воспользуемся тождеством $ \text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} $:

$ \text{ctg}\alpha = \frac{1}{-\frac{2}{3}} = -\frac{3}{2} = -1,5 $

Ответ: $ -1,5 $.