Номер 21.1, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

21.1 a) $\frac{\sin 2t}{\cos t} - \sin t;$

Б) $\frac{\sin 6t}{\cos^2 3t};$

В) $\cos^2 t - \cos 2t;$

Г) $\frac{\cos 2t}{\cos t - \sin t} - \sin t.$

а)

Упростим выражение $\frac{\sin 2t}{\cos t} - \sin t$.

Для начала воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$.

Подставим эту формулу в исходное выражение:

$\frac{2 \sin t \cos t}{\cos t} - \sin t$

Сократим $\cos t$ в числителе и знаменателе дроби (при условии, что $\cos t \neq 0$):

$2 \sin t - \sin t$

Выполним вычитание:

$2 \sin t - \sin t = \sin t$

Ответ: $\sin t$.

б)

Упростим выражение $\frac{\sin 6t}{\cos^2 3t}$.

Представим $\sin 6t$ как синус двойного угла, где угол равен $3t$: $\sin 6t = \sin(2 \cdot 3t)$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, где $\alpha = 3t$:

$\sin 6t = 2 \sin 3t \cos 3t$

Подставим полученное выражение в исходную дробь:

$\frac{2 \sin 3t \cos 3t}{\cos^2 3t}$

Сократим $\cos 3t$ в числителе и знаменателе (при условии, что $\cos 3t \neq 0$):

$\frac{2 \sin 3t}{\cos 3t}$

Используем определение тангенса $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:

$2 \tan 3t$

Ответ: $2 \tan 3t$.

в)

Упростим выражение $\cos^2 t - \cos 2t$.

Воспользуемся одной из формул косинуса двойного угла: $\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$.

Подставим эту формулу в исходное выражение:

$\cos^2 t - (\cos^2 t - \sin^2 t)$

Раскроем скобки:

$\cos^2 t - \cos^2 t + \sin^2 t$

Приведем подобные слагаемые:

$\sin^2 t$

Ответ: $\sin^2 t$.

г)

Упростим выражение $\frac{\cos 2t}{\cos t - \sin t} - \sin t$.

Для числителя дроби используем формулу косинуса двойного угла в виде разности квадратов: $\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$.

Подставим это выражение в дробь:

$\frac{\cos^2 t - \sin^2 t}{\cos t - \sin t} - \sin t$

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{(\cos t - \sin t)(\cos t + \sin t)}{\cos t - \sin t} - \sin t$

Сократим дробь на $(\cos t - \sin t)$ (при условии, что $\cos t - \sin t \neq 0$):

$(\cos t + \sin t) - \sin t$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\cos t + \sin t - \sin t = \cos t$

Ответ: $\cos t$.