Номер 21.2, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.2, страница 65.

21.2 a) $\frac{\sin 40^{\circ}}{\sin 20^{\circ}};

Б) $\frac{\cos 80^{\circ}}{\cos 40^{\circ} + \sin 40^{\circ}};

В) $\frac{\sin 100^{\circ}}{2 \cos 50^{\circ}};

Г) $\frac{\cos 36^{\circ} + \sin^2 18^{\circ}}{\cos 18^{\circ}}.$

а)

Для решения этого примера воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$.

Представим числитель $\sin 40^\circ$ как $\sin(2 \cdot 20^\circ)$.

Применим формулу:

$\sin 40^\circ = 2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ$.

Теперь подставим это выражение в исходную дробь:

$\frac{\sin 40^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ}{\sin 20^\circ}$.

Сократим $\sin 20^\circ$ в числителе и знаменателе, так как $\sin 20^\circ \neq 0$:

$2 \cos 20^\circ$.

Ответ: $2 \cos 20^\circ$.

б)

Для решения этого примера воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

Представим числитель $\cos 80^\circ$ как $\cos(2 \cdot 40^\circ)$.

Применим формулу:

$\cos 80^\circ = \cos^2 40^\circ - \sin^2 40^\circ$.

Далее, используем формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя:

$\cos^2 40^\circ - \sin^2 40^\circ = (\cos 40^\circ - \sin 40^\circ)(\cos 40^\circ + \sin 40^\circ)$.

Теперь подставим это выражение в исходную дробь:

$\frac{(\cos 40^\circ - \sin 40^\circ)(\cos 40^\circ + \sin 40^\circ)}{\cos 40^\circ + \sin 40^\circ}$.

Сократим одинаковые множители $(\cos 40^\circ + \sin 40^\circ)$ в числителе и знаменателе (этот множитель не равен нулю):

$\cos 40^\circ - \sin 40^\circ$.

Ответ: $\cos 40^\circ - \sin 40^\circ$.

в)

Для решения этого примера воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$.

Представим числитель $\sin 100^\circ$ как $\sin(2 \cdot 50^\circ)$.

Применим формулу:

$\sin 100^\circ = 2 \sin 50^\circ \cos 50^\circ$.

Теперь подставим это выражение в исходную дробь:

$\frac{2 \sin 50^\circ \cos 50^\circ}{2 \cos 50^\circ}$.

Сократим $2 \cos 50^\circ$ в числителе и знаменателе, так как $\cos 50^\circ \neq 0$:

$\sin 50^\circ$.

Ответ: $\sin 50^\circ$.

г)

Для решения этого примера используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2 \alpha$.

Заметим, что $36^\circ = 2 \cdot 18^\circ$. Представим $\cos 36^\circ$ с помощью этой формулы:

$\cos 36^\circ = \cos(2 \cdot 18^\circ) = 1 - 2\sin^2 18^\circ$.

Подставим это выражение в числитель исходной дроби:

$\frac{(1 - 2\sin^2 18^\circ) + \sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ}$.

Упростим выражение в числителе:

$1 - 2\sin^2 18^\circ + \sin^2 18^\circ = 1 - \sin^2 18^\circ$.

Теперь применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.

Таким образом, числитель равен $\cos^2 18^\circ$.

Исходное выражение принимает вид:

$\frac{\cos^2 18^\circ}{\cos 18^\circ}$.

Сократим дробь на $\cos 18^\circ$, так как $\cos 18^\circ \neq 0$:

$\cos 18^\circ$.

Ответ: $\cos 18^\circ$.