Номер 19.19, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§19. Синус и косинус суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 19.19, страница 61.

19.19 Найдите наименьший положительный корень (в градусах) уравнения:

a) $\sin x \cos 45^{\circ} + \cos x \sin 45^{\circ} = \cos 17^{\circ} \cos 13^{\circ} - \sin 17^{\circ} \sin 13^{\circ}$;

б) $\cos x \cos 60^{\circ} - \sin x \sin 60^{\circ} = \sin 200^{\circ} \cos 25^{\circ} + \cos 200^{\circ} \sin 25^{\circ}$.

a) Исходное уравнение: $sin x \cos 45^\circ + \cos x \sin 45^\circ = \cos 17^\circ \cos 13^\circ - \sin 17^\circ \sin 13^\circ$.

Левую часть уравнения можно упростить, используя формулу синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.

Применив ее, получаем: $\sin x \cos 45^\circ + \cos x \sin 45^\circ = \sin(x + 45^\circ)$.

Правую часть уравнения можно упростить, используя формулу косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.

Применив ее, получаем: $\cos 17^\circ \cos 13^\circ - \sin 17^\circ \sin 13^\circ = \cos(17^\circ + 13^\circ) = \cos 30^\circ$.

Таким образом, исходное уравнение принимает вид: $\sin(x + 45^\circ) = \cos 30^\circ$.

Используем формулу приведения $\cos\alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$, чтобы привести обе части к синусу:

$\cos 30^\circ = \sin(90^\circ - 30^\circ) = \sin 60^\circ$.

Получаем уравнение: $\sin(x + 45^\circ) = \sin 60^\circ$.

Общее решение уравнения $\sin A = \sin B$ имеет вид $A = B + 360^\circ \cdot n$ или $A = 180^\circ - B + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Получаем две серии решений:

1) $x + 45^\circ = 60^\circ + 360^\circ \cdot n$

$x = 60^\circ - 45^\circ + 360^\circ \cdot n$

$x = 15^\circ + 360^\circ \cdot n$

При $n=0$, $x = 15^\circ$. Это наименьший положительный корень в этой серии.

2) $x + 45^\circ = 180^\circ - 60^\circ + 360^\circ \cdot n$

$x + 45^\circ = 120^\circ + 360^\circ \cdot n$

$x = 120^\circ - 45^\circ + 360^\circ \cdot n$

$x = 75^\circ + 360^\circ \cdot n$

При $n=0$, $x = 75^\circ$.

Сравнивая наименьшие положительные корни из обеих серий ($15^\circ$ и $75^\circ$), выбираем наименьший из них.

Ответ: $15^\circ$

---

б) Исходное уравнение: $\cos x \cos 60^\circ - \sin x \sin 60^\circ = \sin 200^\circ \cos 25^\circ + \cos 200^\circ \sin 25^\circ$.

Упростим левую часть уравнения с помощью формулы косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$:

$\cos x \cos 60^\circ - \sin x \sin 60^\circ = \cos(x + 60^\circ)$.

Упростим правую часть уравнения с помощью формулы синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$:

$\sin 200^\circ \cos 25^\circ + \cos 200^\circ \sin 25^\circ = \sin(200^\circ + 25^\circ) = \sin 225^\circ$.

Уравнение принимает вид: $\cos(x + 60^\circ) = \sin 225^\circ$.

Вычислим значение в правой части: $\sin 225^\circ = \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Получаем уравнение: $\cos(x + 60^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение уравнения $\cos A = a$ имеет вид $A = \pm \arccos(a) + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 135^\circ$, получаем:

$x + 60^\circ = \pm 135^\circ + 360^\circ \cdot n$.

Рассмотрим два случая:

1) $x + 60^\circ = 135^\circ + 360^\circ \cdot n$

$x = 135^\circ - 60^\circ + 360^\circ \cdot n$

$x = 75^\circ + 360^\circ \cdot n$

Наименьший положительный корень в этой серии (при $n=0$) равен $75^\circ$.

2) $x + 60^\circ = -135^\circ + 360^\circ \cdot n$

$x = -135^\circ - 60^\circ + 360^\circ \cdot n$

$x = -195^\circ + 360^\circ \cdot n$

Чтобы найти наименьший положительный корень, подставим $n=1$: $x = -195^\circ + 360^\circ = 165^\circ$.

Сравнивая наименьшие положительные корни из двух серий ($75^\circ$ и $165^\circ$), находим, что наименьший из них равен $75^\circ$.

Ответ: $75^\circ$