Номер 19.10, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§19. Синус и косинус суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 19.10, страница 60.

Найдите значение выражения:

19.10 а) $\cos 107^\circ \cos 17^\circ + \sin 107^\circ \sin 17^\circ$;

б) $\cos 36^\circ \cos 24^\circ - \sin 36^\circ \sin 24^\circ$;

в) $\sin 63^\circ \cos 27^\circ + \cos 63^\circ \sin 27^\circ$;

г) $\sin 51^\circ \cos 21^\circ - \cos 51^\circ \sin 21^\circ$.

Для решения данных задач воспользуемся тригонометрическими формулами сложения и вычитания углов:

• Формула косинуса разности: $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$
• Формула косинуса суммы: $cos(\alpha + \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta - sin\alpha \cdot sin\beta$
• Формула синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta + cos\alpha \cdot sin\beta$
• Формула синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta$

а) $cos107^\circ cos17^\circ + sin107^\circ sin17^\circ$

Данное выражение соответствует формуле косинуса разности углов $cos(\alpha - \beta)$, где $\alpha = 107^\circ$ и $\beta = 17^\circ$.

Применяем формулу:

$cos107^\circ cos17^\circ + sin107^\circ sin17^\circ = cos(107^\circ - 17^\circ)$

Вычисляем разность углов:

$107^\circ - 17^\circ = 90^\circ$

Таким образом, выражение равно $cos(90^\circ)$. Значение косинуса 90 градусов равно 0.

$cos(90^\circ) = 0$

Ответ: 0

б) $cos36^\circ cos24^\circ - sin36^\circ sin24^\circ$

Данное выражение соответствует формуле косинуса суммы углов $cos(\alpha + \beta)$, где $\alpha = 36^\circ$ и $\beta = 24^\circ$.

Применяем формулу:

$cos36^\circ cos24^\circ - sin36^\circ sin24^\circ = cos(36^\circ + 24^\circ)$

Вычисляем сумму углов:

$36^\circ + 24^\circ = 60^\circ$

Таким образом, выражение равно $cos(60^\circ)$. Значение косинуса 60 градусов равно $\frac{1}{2}$.

$cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) $sin63^\circ cos27^\circ + cos63^\circ sin27^\circ$

Данное выражение соответствует формуле синуса суммы углов $sin(\alpha + \beta)$, где $\alpha = 63^\circ$ и $\beta = 27^\circ$.

Применяем формулу:

$sin63^\circ cos27^\circ + cos63^\circ sin27^\circ = sin(63^\circ + 27^\circ)$

Вычисляем сумму углов:

$63^\circ + 27^\circ = 90^\circ$

Таким образом, выражение равно $sin(90^\circ)$. Значение синуса 90 градусов равно 1.

$sin(90^\circ) = 1$

Ответ: 1

г) $sin51^\circ cos21^\circ - cos51^\circ sin21^\circ$

Данное выражение соответствует формуле синуса разности углов $sin(\alpha - \beta)$, где $\alpha = 51^\circ$ и $\beta = 21^\circ$.

Применяем формулу:

$sin51^\circ cos21^\circ - cos51^\circ sin21^\circ = sin(51^\circ - 21^\circ)$

Вычисляем разность углов:

$51^\circ - 21^\circ = 30^\circ$

Таким образом, выражение равно $sin(30^\circ)$. Значение синуса 30 градусов равно $\frac{1}{2}$.

$sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$