Номер 18.21, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.21, страница 55.

18.21 a) $ \operatorname{tg} x - 2 \operatorname{ctg} x + 1 = 0; $

Б) $ \frac{\operatorname{tg} x + 5}{2} = \frac{1}{\cos^2 x}; $

В) $ 2 \operatorname{ctg} x - 3 \operatorname{tg} x + 5 = 0; $

Г) $ \frac{7 - \operatorname{ctg} x}{4} = \frac{1}{\sin^2 x}. $

а) $ \tg x - 2 \ctg x + 1 = 0 $

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс не определен, когда $ \cos x = 0 $, а котангенс не определен, когда $ \sin x = 0 $. Следовательно, $ x \neq \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Используем тождество $ \ctg x = \frac{1}{\tg x} $. Уравнение принимает вид:

$ \tg x - \frac{2}{\tg x} + 1 = 0 $

Введем замену: пусть $ t = \tg x $. Тогда уравнение переписывается как:

$ t - \frac{2}{t} + 1 = 0 $

Умножим обе части на $ t $ (при условии $ t \neq 0 $, что соответствует ОДЗ):

$ t^2 - 2 + t = 0 $

$ t^2 + t - 2 = 0 $

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета или через дискриминант.

$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 $

$ t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = 1 $

$ t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = -2 $

Вернемся к замене:

1) $ \tg x = 1 $. Отсюда $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \tg x = -2 $. Отсюда $ x = \arctg(-2) + \pi k = -\arctg(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Оба решения входят в ОДЗ.

Ответ: $ \frac{\pi}{4} + \pi n, -\arctg(2) + \pi k $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \frac{\tg x + 5}{2} = \frac{1}{\cos^2 x} $

ОДЗ: $ \cos x \neq 0 $, то есть $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Используем основное тригонометрическое тождество $ \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tg^2 x $. Уравнение принимает вид:

$ \frac{\tg x + 5}{2} = 1 + \tg^2 x $

Введем замену: пусть $ t = \tg x $.

$ \frac{t + 5}{2} = 1 + t^2 $

Умножим обе части на 2:

$ t + 5 = 2(1 + t^2) $

$ t + 5 = 2 + 2t^2 $

$ 2t^2 - t - 3 = 0 $

Решим квадратное уравнение:

$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 $

$ t_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $

$ t_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1 $

Вернемся к замене:

1) $ \tg x = \frac{3}{2} $. Отсюда $ x = \arctg\left(\frac{3}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \tg x = -1 $. Отсюда $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Оба решения входят в ОДЗ.

Ответ: $ \arctg\left(\frac{3}{2}\right) + \pi n, -\frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

в) $ 2 \ctg x - 3 \tg x + 5 = 0 $

ОДЗ: $ x \neq \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Используем тождество $ \ctg x = \frac{1}{\tg x} $.

$ \frac{2}{\tg x} - 3 \tg x + 5 = 0 $

Введем замену: пусть $ t = \tg x $.

$ \frac{2}{t} - 3t + 5 = 0 $

Умножим обе части на $ t $ (при $ t \neq 0 $):

$ 2 - 3t^2 + 5t = 0 $

$ 3t^2 - 5t - 2 = 0 $

Решим квадратное уравнение:

$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 $

$ t_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2 $

$ t_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} $

Вернемся к замене:

1) $ \tg x = 2 $. Отсюда $ x = \arctg(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \tg x = -\frac{1}{3} $. Отсюда $ x = \arctg\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi k = -\arctg\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Оба решения входят в ОДЗ.

Ответ: $ \arctg(2) + \pi n, -\arctg\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

г) $ \frac{7 - \ctg x}{4} = \frac{1}{\sin^2 x} $

ОДЗ: $ \sin x \neq 0 $, то есть $ x \neq \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Используем основное тригонометрическое тождество $ \frac{1}{\sin^2 x} = 1 + \ctg^2 x $. Уравнение принимает вид:

$ \frac{7 - \ctg x}{4} = 1 + \ctg^2 x $

Введем замену: пусть $ t = \ctg x $.

$ \frac{7 - t}{4} = 1 + t^2 $

Умножим обе части на 4:

$ 7 - t = 4(1 + t^2) $

$ 7 - t = 4 + 4t^2 $

$ 4t^2 + t - 3 = 0 $

Решим квадратное уравнение:

$ D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 $

$ t_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $

$ t_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1 $

Вернемся к замене:

1) $ \ctg x = \frac{3}{4} $. Отсюда $ x = \arcctg\left(\frac{3}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \ctg x = -1 $. Отсюда $ x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Оба решения входят в ОДЗ.

Ответ: $ \arcctg\left(\frac{3}{4}\right) + \pi n, \frac{3\pi}{4} + \pi k $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.