Номер 18.17, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.17, страница 54.

18.17 a) $ \sin \frac{x}{2} = 0 $, $ [-12; 18] $;

б) $ \cos 3x = - \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ [1; 7] $.

а) Сначала решим уравнение $\sin\frac{x}{2} = 0$.
Это частный случай тригонометрического уравнения. Его решения имеют вид:
$\frac{x}{2} = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Отсюда находим $x$:
$x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь необходимо отобрать корни, которые принадлежат заданному отрезку $[-12; 18]$. Для этого решим двойное неравенство:
$-12 \le 2\pi n \le 18$
Разделим все части неравенства на $2\pi$:
$\frac{-12}{2\pi} \le n \le \frac{18}{2\pi}$
$\frac{-6}{\pi} \le n \le \frac{9}{\pi}$
Чтобы найти целые значения $n$, воспользуемся приближенным значением $\pi \approx 3,14$:
$\frac{-6}{3,14} \approx -1,91$
$\frac{9}{3,14} \approx 2,87$
Таким образом, $-1,91 \le n \le 2,87$.
Этому условию удовлетворяют следующие целые значения $n$: $-1, 0, 1, 2$.
Найдем соответствующие им значения $x$:
Если $n = -1$, то $x = 2\pi(-1) = -2\pi$.
Если $n = 0$, то $x = 2\pi(0) = 0$.
Если $n = 1$, то $x = 2\pi(1) = 2\pi$.
Если $n = 2$, то $x = 2\pi(2) = 4\pi$.
Все найденные значения принадлежат отрезку $[-12; 18]$.
Ответ: $-2\pi; 0; 2\pi; 4\pi$.

б) Решим уравнение $\cos 3x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Общее решение этого уравнения записывается по формуле:
$3x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$, получаем:
$3x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$
Разделим обе части на 3, чтобы выразить $x$:
$x = \pm \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Это дает две серии решений. Найдем корни из каждой серии, принадлежащие отрезку $[1; 7]$.

1-я серия: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}$.
Подставим это выражение в двойное неравенство $1 \le x \le 7$:
$1 \le \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3} \le 7$
Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей:
$1 - \frac{\pi}{4} \le \frac{2\pi k}{3} \le 7 - \frac{\pi}{4}$
Умножим все части на $\frac{3}{2\pi}$:
$\frac{3}{2\pi}(1 - \frac{\pi}{4}) \le k \le \frac{3}{2\pi}(7 - \frac{\pi}{4})$
$\frac{3}{2\pi} - \frac{3}{8} \le k \le \frac{21}{2\pi} - \frac{3}{8}$
Используя $\pi \approx 3,14$:
$\frac{3}{6,28} - 0,375 \le k \le \frac{21}{6,28} - 0,375$
$0,478 - 0,375 \le k \le 3,344 - 0,375$
$0,103 \le k \le 2,969$
Целые значения $k$ в этом промежутке: $1, 2$.
При $k=1$: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi+8\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}$.
При $k=2$: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi+16\pi}{12} = \frac{19\pi}{12}$.

2-я серия: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}$.
Подставим в неравенство $1 \le x \le 7$:
$1 \le -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3} \le 7$
Прибавим $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям:
$1 + \frac{\pi}{4} \le \frac{2\pi k}{3} \le 7 + \frac{\pi}{4}$
Умножим на $\frac{3}{2\pi}$:
$\frac{3}{2\pi}(1 + \frac{\pi}{4}) \le k \le \frac{3}{2\pi}(7 + \frac{\pi}{4})$
$\frac{3}{2\pi} + \frac{3}{8} \le k \le \frac{21}{2\pi} + \frac{3}{8}$
Используя $\pi \approx 3,14$:
$0,478 + 0,375 \le k \le 3,344 + 0,375$
$0,853 \le k \le 3,719$
Целые значения $k$ в этом промежутке: $1, 2, 3$.
При $k=1$: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{-3\pi+8\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$.
При $k=2$: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{3} = \frac{-3\pi+16\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}$.
При $k=3$: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{6\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{- \pi + 8\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.
Объединив решения из обеих серий, получим итоговый набор корней.
Ответ: $\frac{5\pi}{12}; \frac{11\pi}{12}; \frac{13\pi}{12}; \frac{19\pi}{12}; \frac{7\pi}{4}$.