Номер 18.20, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.20, страница 55.

Решите уравнение:

18.20 a) $\sin^2 \frac{3x}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x - \cos^2 \frac{3x}{4} + 1;$

б) $\cos^2 2x - 1 - \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin^2 2x.$

а) $\sin^2 \frac{3x}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x - \cos^2 \frac{3x}{4} + 1$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $\frac{3x}{4}$, в левой части уравнения, перенеся $-\cos^2 \frac{3x}{4}$ влево с противоположным знаком:

$\sin^2 \frac{3x}{4} + \cos^2 \frac{3x}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x + 1$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Для $\alpha = \frac{3x}{4}$ оно выглядит так: $\sin^2 \frac{3x}{4} + \cos^2 \frac{3x}{4} = 1$.

Подставим 1 в уравнение вместо суммы квадратов синуса и косинуса:

$1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x + 1$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения, чтобы выделить $\sin x$:

$-\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x$

Теперь решим простейшее тригонометрическое уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение для уравнения $\sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, значение арксинуса равно $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляя это значение в общую формулу, получаем:

$x = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Это можно переписать в виде $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos^2 2x - 1 - \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin^2 2x$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $2x$, в левой части уравнения, перенеся $-\sin^2 2x$ влево с противоположным знаком:

$\cos^2 2x + \sin^2 2x - 1 - \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Для $\alpha = 2x$ оно выглядит так: $\cos^2 2x + \sin^2 2x = 1$.

Подставим 1 в уравнение вместо суммы квадратов синуса и косинуса:

$1 - 1 - \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Упростим левую часть уравнения:

$-\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Умножим обе части на -1:

$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь решим простейшее тригонометрическое уравнение $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение для уравнения $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, значение арккосинуса равно $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$.

Подставляя это значение в общую формулу, получаем:

$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.