Номер 12.1, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§12. Периодичность функций у = sin x, y = cos х. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 12.1, страница 35.

12.1 На рисунке 11 изображена часть графика периодической функции $y = f(x)$ на отрезке $[-1; 1]$, длина которого равна периоду функции. Постройте график функции:

а) на отрезке $[1; 3]$;

б) на отрезке $[-3; -1]$;

в) на отрезке $[3; 7]$;

г) на всей числовой прямой.

Из условия задачи следует, что функция $y = f(x)$ является периодической. График функции дан на отрезке $[-1; 1]$, и длина этого отрезка равна периоду функции $T$.

Найдем период $T$: $T = 1 - (-1) = 2$.

По определению периодической функции, для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$, то есть $f(x + 2) = f(x)$. Это также означает, что $f(x + 2k) = f(x)$ для любого целого числа $k \in \mathbb{Z}$.

Для построения графика на других отрезках мы будем использовать параллельный перенос (сдвиг) известной части графика вдоль оси абсцисс на величину, кратную периоду.

а) на отрезке [1; 3]

Чтобы построить график на отрезке $[1; 3]$, заметим, что для любой точки $x \in [1; 3]$ можно найти соответствующую точку $x' = x - 2$ на отрезке $[-1; 1]$. Из свойства периодичности $f(x) = f((x-2)+2) = f(x-2)$.

Это означает, что для построения графика функции $y=f(x)$ на отрезке $[1; 3]$ необходимо взять часть графика, заданную на отрезке $[-1; 1]$, и сдвинуть ее вправо вдоль оси Ox на 2 единицы.

Ответ: График функции на отрезке $[1; 3]$ получается путем параллельного переноса графика с отрезка $[-1; 1]$ на вектор $(2, 0)$.

б) на отрезке [-3; -1]

Чтобы построить график на отрезке $[-3; -1]$, воспользуемся тем же принципом. Для любой точки $x \in [-3; -1]$ соответствующая точка $x' = x + 2$ будет лежать на отрезке $[-1; 1]$. Из свойства периодичности $f(x) = f(x+2)$.

Следовательно, для построения графика функции $y=f(x)$ на отрезке $[-3; -1]$ необходимо взять часть графика, заданную на отрезке $[-1; 1]$, и сдвинуть ее влево вдоль оси Ox на 2 единицы.

Ответ: График функции на отрезке $[-3; -1]$ получается путем параллельного переноса графика с отрезка $[-1; 1]$ на вектор $(-2, 0)$.

в) на отрезке [3; 7]

Отрезок $[3; 7]$ имеет длину $7-3=4$, что равно двум периодам функции ($2T = 2 \cdot 2 = 4$). Можно разбить этот отрезок на два отрезка длиной в один период: $[3; 5]$ и $[5; 7]$.

Для отрезка $[3; 5]$: для любой точки $x \in [3; 5]$ имеем $f(x) = f(x - 2 \cdot 2) = f(x-4)$. Аргумент $(x-4)$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Это означает, что график на отрезке $[3; 5]$ является копией графика на отрезке $[-1; 1]$, сдвинутой на 4 единицы вправо.

Для отрезка $[5; 7]$: для любой точки $x \in [5; 7]$ имеем $f(x) = f(x - 3 \cdot 2) = f(x-6)$. Аргумент $(x-6)$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Это означает, что график на отрезке $[5; 7]$ является копией графика на отрезке $[-1; 1]$, сдвинутой на 6 единиц вправо.

Ответ: График на отрезке $[3; 7]$ состоит из двух последовательных копий исходного графика: первая на отрезке $[3; 5]$ является результатом сдвига графика с отрезка $[-1; 1]$ на 4 единицы вправо; вторая на отрезке $[5; 7]$ — результатом сдвига графика с отрезка $[-1; 1]$ на 6 единиц вправо.

г) на всей числовой прямой

Чтобы построить график на всей числовой прямой, нужно использовать свойство периодичности $f(x+2k) = f(x)$ для любого целого числа $k$. Это означает, что график функции представляет собой бесконечное повторение основного фрагмента, заданного на отрезке $[-1; 1]$.

Мы берем график с отрезка $[-1; 1]$ и осуществляем его параллельные переносы на векторы вида $(2k, 0)$, где $k$ принимает все целые значения ($k = \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$). То есть, мы "размножаем" исходный график, сдвигая его вправо и влево на расстояния, кратные периоду $T=2$.

Ответ: График функции на всей числовой прямой получается путем бесконечного повторения части графика с отрезка $[-1; 1]$ с шагом, равным периоду $T=2$, влево и вправо вдоль всей оси абсцисс.