Номер 12.2, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§12. Периодичность функций у = sin x, y = cos х. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 12.2, страница 35.

12.2 На рисунке 12 изображена часть графика периодической функции $y = f(x)$ на отрезке $[0; 3]$, длина которого равна периоду функции. Постройте график функции:

а) на отрезке $[3; 6];$

б) на отрезке $[-3; 0];$

в) на отрезке $[6; 12];$

Рис. 11

Рис. 12

г) на всей числовой прямой.

Из условия задачи следует, что функция $y = f(x)$ является периодической. Нам дан ее график на отрезке $[0; 3]$. Длина этого отрезка равна $3 - 0 = 3$. Поскольку длина отрезка равна периоду функции, то период функции $T = 3$.

Основное свойство периодической функции с периодом $T$ выражается формулой $f(x + T) = f(x)$. В нашем случае $f(x + 3) = f(x)$. Это означает, что для построения графика на других отрезках мы можем сдвигать заданный участок графика вдоль оси абсцисс на расстояние, кратное периоду. В общем виде: $f(x + 3n) = f(x)$, где $n$ — любое целое число.

а) на отрезке [3; 6]

Отрезок $[3; 6]$ можно представить как $[0+3; 3+3]$. Это означает, что для построения графика на этом отрезке нужно взять исходный график с отрезка $[0; 3]$ и сдвинуть его на 3 единицы вправо (соответствует $n=1$ в формуле $f(x) = f(x-3)$).

Таким образом, ключевые точки на новом отрезке будут:

• Начальная точка: $f(3) = f(0) = 0$. Координаты: $(3, 0)$.
• Точка максимума: $f(1.5 + 3) = f(4.5) = f(1.5) = 1$. Координаты: $(4.5, 1)$.
• Конечная точка: $f(3 + 3) = f(6) = f(3) = 0$. Координаты: $(6, 0)$.

Ответ: График функции на отрезке $[3; 6]$ является точной копией графика на отрезке $[0; 3]$, смещенной на 3 единицы вправо. Это дуга, начинающаяся в точке $(3, 0)$, достигающая максимума в точке $(4.5, 1)$ и заканчивающаяся в точке $(6, 0)$.

б) на отрезке [–3; 0]

Отрезок $[-3; 0]$ можно представить как $[0-3; 3-3]$. Для построения графика на этом отрезке нужно взять исходный график с отрезка $[0; 3]$ и сдвинуть его на 3 единицы влево (соответствует $n=-1$ в формуле $f(x) = f(x+3)$).

Ключевые точки на этом отрезке:

• Начальная точка: $f(-3) = f(-3+3) = f(0) = 0$. Координаты: $(-3, 0)$.
• Точка максимума: $f(-1.5) = f(-1.5+3) = f(1.5) = 1$. Координаты: $(-1.5, 1)$.
• Конечная точка: $f(0) = f(0+3) = f(3) = 0$. Координаты: $(0, 0)$.

Ответ: График функции на отрезке $[-3; 0]$ является точной копией графика на отрезке $[0; 3]$, смещенной на 3 единицы влево. Это дуга, начинающаяся в точке $(-3, 0)$, достигающая максимума в точке $(-1.5, 1)$ и заканчивающаяся в точке $(0, 0)$.

в) на отрезке [6; 12]

Длина этого отрезка равна $12-6=6$, что составляет два периода функции ($2T = 2 \cdot 3 = 6$). Этот отрезок состоит из двух частей: $[6; 9]$ и $[9; 12]$.

На отрезке $[6; 9]$ график является сдвигом исходного графика на $2T=6$ единиц вправо ($n=2$). Он начинается в точке $(6,0)$, достигает максимума в $(7.5, 1)$ и заканчивается в $(9,0)$.

На отрезке $[9; 12]$ график является сдвигом исходного графика на $3T=9$ единиц вправо ($n=3$). Он начинается в точке $(9,0)$, достигает максимума в $(10.5, 1)$ и заканчивается в $(12,0)$.

Ответ: График функции на отрезке $[6; 12]$ состоит из двух одинаковых дуг, являющихся копиями графика на отрезке $[0; 3]$. Первая дуга на отрезке $[6; 9]$ начинается в $(6, 0)$, имеет максимум в $(7.5, 1)$ и заканчивается в $(9, 0)$. Вторая дуга на отрезке $[9; 12]$ является ее продолжением, начинается в $(9, 0)$, имеет максимум в $(10.5, 1)$ и заканчивается в $(12, 0)$.

г) на всей числовой прямой

Так как функция периодическая с периодом $T=3$, ее график на всей числовой прямой получается путем бесконечного повторения исходного фрагмента с отрезка $[0; 3]$ влево и вправо.

В общем виде, для любого целого числа $k$, на отрезке $[3k; 3(k+1)]$ график будет представлять собой дугу, аналогичную исходной.

• Нули функции (точки пересечения с осью $x$) находятся в точках $x = 3k$.
• Максимумы функции, равные 1, достигаются в точках $x = 1.5 + 3k$.

Ответ: График функции на всей числовой прямой представляет собой бесконечную последовательность одинаковых дуг. Для любого целого числа $k$, на отрезке $[3k; 3(k+1)]$ график представляет собой дугу, начинающуюся в точке $(3k, 0)$, достигающую максимума $y=1$ в точке $(1.5 + 3k, 1)$ и заканчивающуюся в точке $(3(k+1), 0)$.