Номер 8, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §24. ч. 1 - номер 8, страница 163.
№8 (с. 163)
Условие. №8 (с. 163)
скриншот условия

8. В каком случае говорят, что числовая последовательность сходится, а в каком — расходится?
Решение 6. №8 (с. 163)
В каком случае говорят, что числовая последовательность сходится
Говорят, что числовая последовательность $\{x_n\}$ сходится, если существует такое конечное число $a$, к которому члены последовательности неограниченно приближаются с ростом номера $n$. Это число $a$ называется пределом последовательности.
Более строго, на языке математики (определение Коши), это формулируется так: число $a$ является пределом последовательности $\{x_n\}$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon > 0$ (эпсилон) найдётся такой номер $N$, что для всех членов последовательности с номерами $n > N$ будет выполняться неравенство:
$|x_n - a| < \epsilon$
Это неравенство означает, что расстояние между членом последовательности $x_n$ и пределом $a$ меньше, чем $\epsilon$. Иными словами, начиная с некоторого номера $N$, все последующие члены последовательности попадают в интервал $(a - \epsilon, a + \epsilon)$.
Записывается это так: $\lim_{n \to \infty} x_n = a$ или $x_n \to a$ при $n \to \infty$.
Пример: Последовательность $x_n = \frac{1}{n}$.
Её члены: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots$. С ростом $n$ эти числа становятся всё ближе и ближе к нулю. Предел этой последовательности равен 0. Какую бы малую окрестность нуля мы ни взяли (например, $\epsilon = 0.001$), мы всегда найдем номер $N$ (в данном случае $N=1000$), после которого все члены последовательности ($x_{1001}, x_{1002}, \ldots$) будут находиться внутри этой окрестности, то есть будут меньше $0.001$.
Ответ: Числовая последовательность сходится, если она имеет конечный предел.
В каком случае говорят, что числовая последовательность расходится
Говорят, что числовая последовательность расходится, если она не сходится. Это означает, что у последовательности нет конечного предела. Существует несколько типичных случаев расходимости:
1. Последовательность стремится к бесконечности ($+\infty$ или $-\infty$).
В этом случае члены последовательности неограниченно возрастают (или убывают). Говорят, что последовательность имеет бесконечный предел.
- Пример 1: $x_n = n^2$. Члены последовательности $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ постоянно растут и не приближаются ни к какому конечному числу. $\lim_{n \to \infty} n^2 = +\infty$.
- Пример 2: $x_n = -n$. Члены последовательности $-1, -2, -3, -4, \ldots$ неограниченно убывают. $\lim_{n \to \infty} (-n) = -\infty$.
2. Последовательность колеблется (осциллирует) и не стремится к какому-либо одному числу.
В этом случае у последовательности нет ни конечного, ни бесконечного предела.
- Пример 3: $x_n = (-1)^n$. Члены последовательности попеременно принимают значения $-1, 1, -1, 1, \ldots$. Они не приближаются к какому-то одному числу, а "прыгают" между двумя значениями. Такая последовательность не имеет предела.
- Пример 4: $x_n = \sin(n)$. Члены этой последовательности колеблются в пределах отрезка $[-1, 1]$, но не стремятся к какому-либо конкретному значению.
Ответ: Числовая последовательность расходится, если она не имеет конечного предела, то есть либо стремится к бесконечности, либо колеблется, не приближаясь ни к какому числу.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 8 расположенного на странице 163 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №8 (с. 163), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.