Номер 8, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §24 - номер 8, страница 163.

Условие.

8. В каком случае говорят, что числовая последовательность сходится, а в каком — расходится?

Решение 6.

В каком случае говорят, что числовая последовательность сходится

Говорят, что числовая последовательность $\{x_n\}$ сходится, если существует такое конечное число $a$, к которому члены последовательности неограниченно приближаются с ростом номера $n$. Это число $a$ называется пределом последовательности.

Более строго, на языке математики (определение Коши), это формулируется так: число $a$ является пределом последовательности $\{x_n\}$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon > 0$ (эпсилон) найдётся такой номер $N$, что для всех членов последовательности с номерами $n > N$ будет выполняться неравенство:

$|x_n - a| < \epsilon$

Это неравенство означает, что расстояние между членом последовательности $x_n$ и пределом $a$ меньше, чем $\epsilon$. Иными словами, начиная с некоторого номера $N$, все последующие члены последовательности попадают в интервал $(a - \epsilon, a + \epsilon)$.

Записывается это так: $\lim_{n \to \infty} x_n = a$ или $x_n \to a$ при $n \to \infty$.

Пример: Последовательность $x_n = \frac{1}{n}$.

Её члены: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots$. С ростом $n$ эти числа становятся всё ближе и ближе к нулю. Предел этой последовательности равен 0. Какую бы малую окрестность нуля мы ни взяли (например, $\epsilon = 0.001$), мы всегда найдем номер $N$ (в данном случае $N=1000$), после которого все члены последовательности ($x_{1001}, x_{1002}, \ldots$) будут находиться внутри этой окрестности, то есть будут меньше $0.001$.

Ответ: Числовая последовательность сходится, если она имеет конечный предел.

В каком случае говорят, что числовая последовательность расходится

Говорят, что числовая последовательность расходится, если она не сходится. Это означает, что у последовательности нет конечного предела. Существует несколько типичных случаев расходимости:

1. Последовательность стремится к бесконечности ($+\infty$ или $-\infty$).

В этом случае члены последовательности неограниченно возрастают (или убывают). Говорят, что последовательность имеет бесконечный предел.

• Пример 1: $x_n = n^2$. Члены последовательности $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ постоянно растут и не приближаются ни к какому конечному числу. $\lim_{n \to \infty} n^2 = +\infty$.
• Пример 2: $x_n = -n$. Члены последовательности $-1, -2, -3, -4, \ldots$ неограниченно убывают. $\lim_{n \to \infty} (-n) = -\infty$.

2. Последовательность колеблется (осциллирует) и не стремится к какому-либо одному числу.

В этом случае у последовательности нет ни конечного, ни бесконечного предела.

• Пример 3: $x_n = (-1)^n$. Члены последовательности попеременно принимают значения $-1, 1, -1, 1, \ldots$. Они не приближаются к какому-то одному числу, а "прыгают" между двумя значениями. Такая последовательность не имеет предела.
• Пример 4: $x_n = \sin(n)$. Члены этой последовательности колеблются в пределах отрезка $[-1, 1]$, но не стремятся к какому-либо конкретному значению.

Ответ: Числовая последовательность расходится, если она не имеет конечного предела, то есть либо стремится к бесконечности, либо колеблется, не приближаясь ни к какому числу.