Номер 4, страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §22 - номер 4, страница 150.

Условие.

4. Дано тождество $f(x) = \frac{\cos 9x + \cos 5x}{2}$. Какое из приведённых ниже

утверждений верно:

a) $f(x) = \sin 7x \sin 2x;$

б) $f(x) = \cos 7x \cos 2x;$

в) $f(x) = \sin 7x \cos 2x;$

г) $f(x) = \sin 2x \cos 7x?$

Решение 6.

Чтобы определить, какое из приведённых утверждений является верным, необходимо преобразовать исходное выражение для функции $f(x)$ с помощью тригонометрических формул.

Дано тождество: $f(x) = \frac{\cos 9x + \cos 5x}{2}$.

Для упрощения числителя воспользуемся формулой суммы косинусов:

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$

В нашем случае $\alpha = 9x$ и $\beta = 5x$. Подставим эти значения в формулу:

$\cos 9x + \cos 5x = 2 \cos\left(\frac{9x + 5x}{2}\right) \cos\left(\frac{9x - 5x}{2}\right)$

Выполним вычисления в аргументах косинусов:

$\frac{9x + 5x}{2} = \frac{14x}{2} = 7x$

$\frac{9x - 5x}{2} = \frac{4x}{2} = 2x$

Таким образом, выражение в числителе дроби преобразуется к виду:

$\cos 9x + \cos 5x = 2 \cos 7x \cos 2x$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную формулу для $f(x)$:

$f(x) = \frac{2 \cos 7x \cos 2x}{2}$

Сократив на 2, получаем окончательный вид функции:

$f(x) = \cos 7x \cos 2x$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с утверждением б).

Ответ: б) $f(x) = \cos 7x \cos 2x$.