Страница 319 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.42 а) $\ctg x > 2$;

б) $\ctg x > -2$;

в) $\ctg x > -0.9$;

г) $\ctg x < 2$;

д) $\ctg x < -2$;

е) $\ctg x < -0.9$.

а) Решим неравенство $ctg x > 2$.
Функция $y = ctg x$ является периодической с периодом $π$ и убывающей на каждом интервале своей области определения $(πn, π + πn)$, где $n \in Z$.
Для решения неравенства сначала найдем корень уравнения $ctg x = 2$. Основное решение, находящееся в интервале $(0, π)$, равно $x = arcctg(2)$.
Поскольку функция котангенса убывает, неравенство $ctg x > 2$ будет выполняться для значений аргумента $x$, которые меньше $arcctg(2)$, но при этом находятся в области определения функции.
На основном интервале $(0, π)$ решением будет промежуток $0 < x < arcctg(2)$.
Учитывая периодичность функции, общее решение неравенства: $πn < x < arcctg(2) + πn$, где $n \in Z$.
Ответ: $x \in (πn, arcctg(2) + πn), n \in Z$.

б) Решим неравенство $ctg x > -2$.
Рассмотрим решение на интервале $(0, π)$. Корень уравнения $ctg x = -2$ на этом интервале равен $x = arcctg(-2)$.
Так как $ctg x$ — убывающая функция, неравенство $ctg x > -2$ выполняется для $x < arcctg(-2)$.
С учетом области определения на интервале $(0, π)$, получаем $0 < x < arcctg(-2)$.
Общее решение неравенства, учитывая период $πn$: $πn < x < arcctg(-2) + πn$, где $n \in Z$.
Ответ: $x \in (πn, arcctg(-2) + πn), n \in Z$.

в) Решим неравенство $ctg x > -0,9$.
Решение аналогично пункту б). Находим корень уравнения $ctg x = -0,9$ на интервале $(0, π)$, который равен $x = arcctg(-0,9)$.
Так как $ctg x$ — убывающая функция, неравенство $ctg x > -0,9$ выполняется для $x < arcctg(-0,9)$.
На интервале $(0, π)$ решение будет $0 < x < arcctg(-0,9)$.
Общее решение с учетом периодичности: $πn < x < arcctg(-0,9) + πn$, где $n \in Z$.
Ответ: $x \in (πn, arcctg(-0,9) + πn), n \in Z$.

г) Решим неравенство $ctg x < 2$.
Рассмотрим решение на интервале $(0, π)$. Корень уравнения $ctg x = 2$ на этом интервале — $x = arcctg(2)$.
Так как $ctg x$ — убывающая функция, неравенство $ctg x < 2$ выполняется для $x > arcctg(2)$.
С учетом области определения на интервале $(0, π)$, получаем решение: $arcctg(2) < x < π$.
Добавляя период $πn$, получаем общее решение: $arcctg(2) + πn < x < π + πn$, где $n \in Z$.
Ответ: $x \in (arcctg(2) + πn, π + πn), n \in Z$.

д) Решим неравенство $ctg x < -2$.
На интервале $(0, π)$ корень уравнения $ctg x = -2$ равен $x = arcctg(-2)$.
Поскольку $ctg x$ — убывающая функция, неравенство $ctg x < -2$ выполняется для $x > arcctg(-2)$.
На интервале $(0, π)$ решение: $arcctg(-2) < x < π$.
Общее решение с учетом периодичности: $arcctg(-2) + πn < x < π + πn$, где $n \in Z$.
Ответ: $x \in (arcctg(-2) + πn, π + πn), n \in Z$.

е) Решим неравенство $ctg x < -0,9$.
Решение аналогично пункту д). На интервале $(0, π)$ корень уравнения $ctg x = -0,9$ равен $x = arcctg(-0,9)$.
Так как $ctg x$ — убывающая функция, неравенство $ctg x < -0,9$ выполняется для $x > arcctg(-0,9)$.
На интервале $(0, π)$ решение: $arcctg(-0,9) < x < π$.
Общее решение с учетом периодичности: $arcctg(-0,9) + πn < x < π + πn$, где $n \in Z$.
Ответ: $x \in (arcctg(-0,9) + πn, π + πn), n \in Z$.