Страница 326 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решите уравнение (11.48–11.51):

11.48

a) $ \sin x + \cos x = \sqrt{2}; $

б) $ \sin x - \cos x = -\sqrt{2}; $

в) $ \sin x + \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}; $

г) $ \sin x - \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}; $

д) $ \sin x - \sqrt{3} \cos x = 1; $

е) $ \sqrt{3} \sin x - \cos x = -1; $

ж) $ \sin x + \sqrt{3} \cos x = \sqrt{3}; $

з) $ \sqrt{3} \sin x + \cos x = -\sqrt{3}. $

а) $\sin x + \cos x = \sqrt{2}$

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$. Для его решения используем метод введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1$
Заметим, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим эти значения в уравнение:
$\sin x \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = 1$
Применяем формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$:
$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:
$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x - \cos x = -\sqrt{2}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = -1$
$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = -1$
Заменяя $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\cos(\frac{\pi}{4})$ и $\sin(\frac{\pi}{4})$:
$\sin x \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = -1$
Применяем формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$:
$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = -1$
Решение имеет вид:
$x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin x + \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$
$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{1}{2}$
$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$
Общее решение:
$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$.
Это дает две серии решений:
1. При $k=2n$: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{3\pi - 2\pi}{12} + 2\pi n = -\frac{\pi}{12} + 2\pi n$.
2. При $k=2n+1$: $x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + (2n+1)\pi = -\frac{5\pi}{12} + \pi + 2\pi n = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi n$; $x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

г) $\sin x - \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$
$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = -\frac{1}{2}$
$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}$
Общее решение:
$x - \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{4} + (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$.
Две серии решений:
1. При $k=2n$ (k+1 нечетное): $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi - 2\pi}{12} + 2\pi n = \frac{\pi}{12} + 2\pi n$.
2. При $k=2n+1$ (k+1 четное): $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + (2n+1)\pi = \frac{5\pi}{12} + \pi + 2\pi n = \frac{17\pi}{12} + 2\pi n$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + 2\pi n$; $x = \frac{17\pi}{12} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

д) $\sin x - \sqrt{3} \cos x = 1$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$:
$\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{1}{2}$
Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$\sin x \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$\sin(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$x - \frac{\pi}{3} = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Две серии решений:
1. При $k=2n$: $x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.
2. При $k=2n+1$: $x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + (2n+1)\pi = \frac{\pi}{6} + \pi + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$; $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

е) $\sqrt{3} \sin x - \cos x = -1$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = 2$:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \frac{1}{2} \cos x = -\frac{1}{2}$
Так как $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:
$\sin x \cos(\frac{\pi}{6}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$
$\sin(x - \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$
$x - \frac{\pi}{6} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Две серии решений:
1. При $k=2n$: $x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = 2\pi n$.
2. При $k=2n+1$: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + (2n+1)\pi = \frac{\pi}{3} + \pi + 2\pi n = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$.

Ответ: $x = 2\pi n$; $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

ж) $\sin x + \sqrt{3} \cos x = \sqrt{3}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$:
$\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Используя $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$\sin x \cos(\frac{\pi}{3}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$x + \frac{\pi}{3} = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Две серии решений:
1. При $k=2n$: $x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = 2\pi n$.
2. При $k=2n+1$: $x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + (2n+1)\pi = -\frac{2\pi}{3} + \pi + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Ответ: $x = 2\pi n$; $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

з) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = -\sqrt{3}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Используя $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$:
$\sin x \cos(\frac{\pi}{6}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(x + \frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$x + \frac{\pi}{6} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Две серии решений:
1. При $k=2n$: $x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.
2. При $k=2n+1$: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + (2n+1)\pi = \frac{\pi}{6} + \pi + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$; $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

11.49 a) $3 \sin x + 4 \cos x = 5;$

Б) $3 \sin x - 4 \cos x = -5;$

В) $4 \sin x - 3 \cos x = 5;$

Г) $4 \sin x + 3 \cos x = -5;$

Д) $5 \sin x + 12 \cos x = 13;$

е) $5 \sin x - 12 \cos x = -13;$

Ж) $12 \sin x - 5 \cos x = 13;$

З) $12 \sin x + 5 \cos x = -13.$

а) $3 \sin x + 4 \cos x = 5$

Данное уравнение имеет вид $a \sin x + b \cos x = c$. Для его решения применим метод введения вспомогательного угла. Здесь коэффициенты $a=3$, $b=4$.

Вычислим множитель $R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Разделим обе части уравнения на $R=5$:

$\frac{3}{5} \sin x + \frac{4}{5} \cos x = 1$

Введем вспомогательный угол $\alpha$ такой, что $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ и $\cos \alpha = \frac{4}{5}$. Такой угол существует, так как $(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = 1$. В качестве $\alpha$ можно выбрать $\alpha = \arcsin(\frac{3}{5})$.

Перепишем уравнение, используя $\alpha$:

$\sin \alpha \sin x + \cos \alpha \cos x = 1$

Применяя формулу косинуса разности $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$, получаем:

$\cos(x - \alpha) = 1$

Решение этого простейшего тригонометрического уравнения:

$x - \alpha = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \alpha + 2\pi n$

Подставляя значение $\alpha = \arcsin(\frac{3}{5})$, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \arcsin(\frac{3}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $3 \sin x - 4 \cos x = -5$

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a=3$, $b=-4$.

Вычислим $R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3^2+(-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Разделим обе части уравнения на $R=5$:

$\frac{3}{5} \sin x - \frac{4}{5} \cos x = -1$

Введем вспомогательный угол $\alpha$ такой, что $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ и $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$. Такой угол $\alpha$ находится во второй четверти и может быть выражен как $\alpha = \arccos(-\frac{4}{5})$.

Уравнение принимает вид:

$\sin \alpha \sin x + \cos \alpha \cos x = -1$

Используя формулу косинуса разности, получаем:

$\cos(x - \alpha) = -1$

Решение этого уравнения:

$x - \alpha = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \pi + \alpha + 2\pi n$

Подставим $\alpha = \arccos(-\frac{4}{5})$. Используя тождество $\arccos(-t) = \pi - \arccos(t)$, получим $\alpha = \pi - \arccos(\frac{4}{5})$.

$x = \pi + (\pi - \arccos(\frac{4}{5})) + 2\pi n = 2\pi - \arccos(\frac{4}{5}) + 2\pi n$.

Так как $2\pi n$ представляет все целые числа, кратные $2\pi$, слагаемое $2\pi$ можно поглотить, заменив $n$ на $k=n+1$.

$x = -\arccos(\frac{4}{5}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используя $\arccos(\frac{4}{5}) = \arcsin(\frac{3}{5})$, можно записать ответ в более простом виде.

Ответ: $x = -\arcsin(\frac{3}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $4 \sin x - 3 \cos x = 5$

В данном уравнении $a=4$, $b=-3$.

Вычислим $R = \sqrt{4^2+(-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.

Разделим обе части уравнения на $5$:

$\frac{4}{5} \sin x - \frac{3}{5} \cos x = 1$

Введем вспомогательный угол $\alpha$ такой, что $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ и $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$. Этот угол находится во второй четверти, $\alpha = \arccos(-\frac{3}{5})$.

Уравнение преобразуется к виду:

$\sin \alpha \sin x + \cos \alpha \cos x = 1 \implies \cos(x - \alpha) = 1$

$x - \alpha = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \alpha + 2\pi n = \arccos(-\frac{3}{5}) + 2\pi n$.

Используя $\arccos(-t) = \pi - \arccos(t)$ и $\arccos(\frac{3}{5})=\arcsin(\frac{4}{5})$, получаем:

$x = \pi - \arccos(\frac{3}{5}) + 2\pi n = \pi - \arcsin(\frac{4}{5}) + 2\pi n$.

Ответ: $x = \pi - \arcsin(\frac{4}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $4 \sin x + 3 \cos x = -5$

Здесь $a=4$, $b=3$.

$R = \sqrt{4^2+3^2} = 5$.

Разделим уравнение на $5$:

$\frac{4}{5} \sin x + \frac{3}{5} \cos x = -1$

Пусть $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ и $\cos \alpha = \frac{3}{5}$. Тогда $\alpha = \arcsin(\frac{4}{5})$.

Уравнение примет вид:

$\sin \alpha \sin x + \cos \alpha \cos x = -1 \implies \cos(x - \alpha) = -1$

$x - \alpha = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \pi + \alpha + 2\pi n$.

Ответ: $x = \pi + \arcsin(\frac{4}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

д) $5 \sin x + 12 \cos x = 13$

Здесь $a=5$, $b=12$.

$R = \sqrt{5^2+12^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$.

Разделим уравнение на $13$:

$\frac{5}{13} \sin x + \frac{12}{13} \cos x = 1$

Пусть $\sin \alpha = \frac{5}{13}$ и $\cos \alpha = \frac{12}{13}$. Тогда $\alpha = \arcsin(\frac{5}{13})$.

Уравнение примет вид:

$\sin \alpha \sin x + \cos \alpha \cos x = 1 \implies \cos(x - \alpha) = 1$

$x - \alpha = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \alpha + 2\pi n$.

Ответ: $x = \arcsin(\frac{5}{13}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

е) $5 \sin x - 12 \cos x = -13$

Здесь $a=5$, $b=-12$.

$R = \sqrt{5^2+(-12)^2} = \sqrt{25+144} = 13$.

Разделим уравнение на $13$:

$\frac{5}{13} \sin x - \frac{12}{13} \cos x = -1$

Пусть $\sin \alpha = \frac{5}{13}$ и $\cos \alpha = -\frac{12}{13}$. Тогда $\alpha = \arccos(-\frac{12}{13})$.

Уравнение примет вид:

$\sin \alpha \sin x + \cos \alpha \cos x = -1 \implies \cos(x - \alpha) = -1$

$x - \alpha = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \pi + \alpha + 2\pi n = \pi + \arccos(-\frac{12}{13}) + 2\pi n$.

Упростим, используя $\arccos(-t)=\pi-\arccos(t)$ и $\arccos(\frac{12}{13})=\arcsin(\frac{5}{13})$:

$x = \pi + (\pi - \arccos(\frac{12}{13})) + 2\pi n = 2\pi - \arccos(\frac{12}{13}) + 2\pi n = -\arccos(\frac{12}{13}) + 2\pi k = -\arcsin(\frac{5}{13}) + 2\pi k$.

Ответ: $x = -\arcsin(\frac{5}{13}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

ж) $12 \sin x - 5 \cos x = 13$

Здесь $a=12$, $b=-5$.

$R = \sqrt{12^2+(-5)^2} = \sqrt{144+25} = 13$.

Разделим уравнение на $13$:

$\frac{12}{13} \sin x - \frac{5}{13} \cos x = 1$

Пусть $\sin \alpha = \frac{12}{13}$ и $\cos \alpha = -\frac{5}{13}$. Тогда $\alpha = \arccos(-\frac{5}{13})$.

Уравнение примет вид:

$\sin \alpha \sin x + \cos \alpha \cos x = 1 \implies \cos(x - \alpha) = 1$

$x - \alpha = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \alpha + 2\pi n = \arccos(-\frac{5}{13}) + 2\pi n$.

Упростим, используя $\arccos(-t)=\pi-\arccos(t)$ и $\arccos(\frac{5}{13})=\arcsin(\frac{12}{13})$:

$x = \pi - \arccos(\frac{5}{13}) + 2\pi n = \pi - \arcsin(\frac{12}{13}) + 2\pi n$.

Ответ: $x = \pi - \arcsin(\frac{12}{13}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

з) $12 \sin x + 5 \cos x = -13$

Здесь $a=12$, $b=5$.

$R = \sqrt{12^2+5^2} = 13$.

Разделим уравнение на $13$:

$\frac{12}{13} \sin x + \frac{5}{13} \cos x = -1$

Пусть $\sin \alpha = \frac{12}{13}$ и $\cos \alpha = \frac{5}{13}$. Тогда $\alpha = \arcsin(\frac{12}{13})$.

Уравнение примет вид:

$\sin \alpha \sin x + \cos \alpha \cos x = -1 \implies \cos(x - \alpha) = -1$

$x - \alpha = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \pi + \alpha + 2\pi n$.

Ответ: $x = \pi + \arcsin(\frac{12}{13}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

11.50* а) $4 \sin x - 5 \cos x = 2;$

В) $2 \sin x + 3 \cos x = 3;$

Д) $4 \sin x + 5 \cos x = -2;$

Ж) $2 \sin x - 3 \cos x = 0;$

б) $3 \sin x + 2 \cos x = 3;$

Г) $5 \sin x - 2 \cos x = 2;$

е) $3 \sin x - 2 \cos x = -3;$

З) $5 \sin x + 2 \cos x = 0.$

а) Это линейное тригонометрическое уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$. Для его решения используем метод введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения $4 \sin x - 5 \cos x = 2$ на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$.
Получим: $\frac{4}{\sqrt{41}} \sin x - \frac{5}{\sqrt{41}} \cos x = \frac{2}{\sqrt{41}}$.
Введем вспомогательный угол $\varphi$, такой что $\cos \varphi = \frac{4}{\sqrt{41}}$ и $\sin \varphi = \frac{5}{\sqrt{41}}$. Такой угол существует, так как $(\frac{4}{\sqrt{41}})^2 + (\frac{5}{\sqrt{41}})^2 = 1$. Выразим угол как $\varphi = \arccos\frac{4}{\sqrt{41}}$.
Уравнение примет вид: $\cos \varphi \sin x - \sin \varphi \cos x = \frac{2}{\sqrt{41}}$.
По формуле синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$, левая часть равна $\sin(x - \varphi)$.
$\sin(x - \varphi) = \frac{2}{\sqrt{41}}$.
Отсюда $x - \varphi = (-1)^k \arcsin\frac{2}{\sqrt{41}} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \varphi + (-1)^k \arcsin\frac{2}{\sqrt{41}} + \pi k$.
Подставив значение $\varphi$, получаем окончательное решение.
Ответ: $x = \arccos\frac{4}{\sqrt{41}} + (-1)^k \arcsin\frac{2}{\sqrt{41}} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Для решения уравнения $3 \sin x + 2 \cos x = 3$ применим универсальную тригонометрическую подстановку. Пусть $t = \tan(x/2)$, тогда $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$. Эта подстановка требует проверки корней вида $x = \pi + 2\pi n$, при которых $\tan(x/2)$ не определен.
Подставляем в уравнение: $3 \cdot \frac{2t}{1+t^2} + 2 \cdot \frac{1-t^2}{1+t^2} = 3$.
Умножим обе части на $1+t^2 \neq 0$: $6t + 2(1-t^2) = 3(1+t^2)$.
$6t + 2 - 2t^2 = 3 + 3t^2 \implies 5t^2 - 6t + 1 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$.
Корни: $t_1 = \frac{6 + \sqrt{16}}{10} = 1$, $t_2 = \frac{6 - \sqrt{16}}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Выполним обратную замену:
1) $\tan(x/2) = 1 \implies x/2 = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\tan(x/2) = \frac{1}{5} \implies x/2 = \arctan\frac{1}{5} + \pi n \implies x = 2\arctan\frac{1}{5} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Проверим $x = \pi + 2\pi n$: $3\sin(\pi) + 2\cos(\pi) = 3(0) + 2(-1) = -2 \neq 3$. Потерянных корней нет.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, x = 2\arctan\frac{1}{5} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $2 \sin x + 3 \cos x = 3$ с помощью универсальной тригонометрической подстановки $t = \tan(x/2)$.
$2 \cdot \frac{2t}{1+t^2} + 3 \cdot \frac{1-t^2}{1+t^2} = 3 \implies 4t + 3(1-t^2) = 3(1+t^2)$.
$4t + 3 - 3t^2 = 3 + 3t^2 \implies 6t^2 - 4t = 0 \implies 2t(3t - 2) = 0$.
Корни: $t_1 = 0$ и $t_2 = \frac{2}{3}$.
Обратная замена:
1) $\tan(x/2) = 0 \implies x/2 = \pi n \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\tan(x/2) = \frac{2}{3} \implies x/2 = \arctan\frac{2}{3} + \pi n \implies x = 2\arctan\frac{2}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Проверка $x = \pi + 2\pi n$: $2\sin(\pi) + 3\cos(\pi) = 2(0) + 3(-1) = -3 \neq 3$. Потерянных корней нет.
Ответ: $x = 2\pi n, x = 2\arctan\frac{2}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $5 \sin x - 2 \cos x = 2$ с помощью универсальной тригонометрической подстановки $t = \tan(x/2)$.
$5 \cdot \frac{2t}{1+t^2} - 2 \cdot \frac{1-t^2}{1+t^2} = 2 \implies 10t - 2(1-t^2) = 2(1+t^2)$.
$10t - 2 + 2t^2 = 2 + 2t^2 \implies 10t = 4 \implies t = \frac{2}{5}$.
Обратная замена: $\tan(x/2) = \frac{2}{5} \implies x/2 = \arctan\frac{2}{5} + \pi n \implies x = 2\arctan\frac{2}{5} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Проверим отдельно случай $x = \pi + 2\pi n$, так как для этих значений $\tan(x/2)$ не определен.
Подстановка в исходное уравнение: $5\sin(\pi + 2\pi n) - 2\cos(\pi + 2\pi n) = 5(0) - 2(-1) = 2$. Равенство $2=2$ верное, значит, $x = \pi + 2\pi n$ является второй серией решений.
Ответ: $x = \pi + 2\pi n, x = 2\arctan\frac{2}{5} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

д) Решим уравнение $4 \sin x + 5 \cos x = -2$ методом введения вспомогательного угла. Разделим обе части на $\sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{41}$.
$\frac{4}{\sqrt{41}} \sin x + \frac{5}{\sqrt{41}} \cos x = -\frac{2}{\sqrt{41}}$.
Введем угол $\varphi = \arccos\frac{4}{\sqrt{41}}$, тогда $\cos \varphi = \frac{4}{\sqrt{41}}$ и $\sin \varphi = \frac{5}{\sqrt{41}}$.
Уравнение принимает вид $\cos \varphi \sin x + \sin \varphi \cos x = -\frac{2}{\sqrt{41}}$, что по формуле синуса суммы равно $\sin(x + \varphi) = -\frac{2}{\sqrt{41}}$.
$x + \varphi = (-1)^k \arcsin(-\frac{2}{\sqrt{41}}) + \pi k = (-1)^{k+1} \arcsin\frac{2}{\sqrt{41}} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = -\varphi + (-1)^{k+1} \arcsin\frac{2}{\sqrt{41}} + \pi k$.
Ответ: $x = -\arccos\frac{4}{\sqrt{41}} + (-1)^{k+1} \arcsin\frac{2}{\sqrt{41}} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

е) Решим уравнение $3 \sin x - 2 \cos x = -3$ с помощью универсальной тригонометрической подстановки $t = \tan(x/2)$.
$3 \cdot \frac{2t}{1+t^2} - 2 \cdot \frac{1-t^2}{1+t^2} = -3 \implies 6t - 2(1-t^2) = -3(1+t^2)$.
$6t - 2 + 2t^2 = -3 - 3t^2 \implies 5t^2 + 6t + 1 = 0$.
Дискриминант $D = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 16$.
Корни: $t_1 = \frac{-6+4}{10} = -\frac{1}{5}$, $t_2 = \frac{-6-4}{10} = -1$.
Обратная замена:
1) $\tan(x/2) = -1 \implies x/2 = -\frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\tan(x/2) = -\frac{1}{5} \implies x/2 = \arctan(-\frac{1}{5}) + \pi n \implies x = -2\arctan\frac{1}{5} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Проверка $x = \pi + 2\pi n$: $3\sin(\pi) - 2\cos(\pi) = 3(0) - 2(-1) = 2 \neq -3$. Потерянных корней нет.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, x = -2\arctan\frac{1}{5} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

ж) Уравнение $2 \sin x - 3 \cos x = 0$ является однородным тригонометрическим уравнением первого порядка. Проверим, может ли $\cos x$ быть равен нулю. Если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$. Подставив в уравнение, получим $2(\pm 1) - 3(0) = \pm 2 \neq 0$. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$.
$2\frac{\sin x}{\cos x} - 3\frac{\cos x}{\cos x} = 0 \implies 2\tan x - 3 = 0$.
$2\tan x = 3 \implies \tan x = \frac{3}{2}$.
Ответ: $x = \arctan\frac{3}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

з) Уравнение $5 \sin x + 2 \cos x = 0$ также является однородным. Проверим, может ли $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$. Подставив в уравнение, получим $5(\pm 1) + 2(0) = \pm 5 \neq 0$. Значит, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части на $\cos x$.
$5\frac{\sin x}{\cos x} + 2\frac{\cos x}{\cos x} = 0 \implies 5\tan x + 2 = 0$.
$5\tan x = -2 \implies \tan x = -\frac{2}{5}$.
Ответ: $x = \arctan(-\frac{2}{5}) + \pi k$ или $x = -\arctan\frac{2}{5} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

11.51* a) $2\sqrt{3} \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = \sqrt{3} - 1;$

б) $\sin^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x = 1;$

в) $(2 + \sqrt{3}) \sin^2 x - (3 + \sqrt{3}) \sin x \cos x + \cos^2 x = 0;$

г) $(1 + \sqrt{3}) \sin^2 x + 2\sqrt{3} \sin x \cos x + (\sqrt{3} - 1)\cos^2 x = 0.$

а) $2\sqrt{3} \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = \sqrt{3} - 1$

Это тригонометрическое уравнение. Для его решения воспользуемся формулами понижения степени и двойного угла:
$\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$
$2 \sin x \cos x = \sin(2x)$
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$2\sqrt{3} \cdot \frac{1 - \cos(2x)}{2} - \sin(2x) = \sqrt{3} - 1$
$\sqrt{3}(1 - \cos(2x)) - \sin(2x) = \sqrt{3} - 1$
Раскроем скобки и упростим:
$\sqrt{3} - \sqrt{3} \cos(2x) - \sin(2x) = \sqrt{3} - 1$
$-\sqrt{3} \cos(2x) - \sin(2x) = -1$
$\sin(2x) + \sqrt{3} \cos(2x) = 1$
Получили уравнение вида $a \sin u + b \cos u = c$. Решим его методом введения вспомогательного угла. Разделим обе части на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$:
$\frac{1}{2} \sin(2x) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(2x) = \frac{1}{2}$
Левую часть можно свернуть по формуле синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, где $\cos \beta = \frac{1}{2}$ и $\sin \beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$, откуда $\beta = \frac{\pi}{3}$.
$\cos(\frac{\pi}{3})\sin(2x) + \sin(\frac{\pi}{3})\cos(2x) = \frac{1}{2}$
$\sin(2x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение, которое распадается на две серии решений:
1) $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
$2x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$
$x = -\frac{\pi}{12} + \pi n$
2) $2x + \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
$2x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$2x = \frac{3\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + \pi n, \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x = 1$

Используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$, чтобы сделать уравнение однородным:
$\sin^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x$
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$\sin^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x - \sin^2 x - \cos^2 x = 0$
$-\sqrt{3} \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$
$\cos^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x = 0$
Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:
$\cos x (\cos x + \sqrt{3} \sin x) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x + \sqrt{3} \sin x = 0$. Заметим, что в этой серии решений $\cos x \neq 0$, иначе $\sin x$ также должен быть равен нулю, что невозможно. Поэтому можно разделить уравнение на $\cos x$:
$1 + \sqrt{3} \tan x = 0$
$\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

в) $(2 + \sqrt{3}) \sin^2 x - (3 + \sqrt{3}) \sin x \cos x + \cos^2 x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставляя в уравнение, получаем $(2 + \sqrt{3}) \cdot 1 - 0 + 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$:
$(2 + \sqrt{3}) \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - (3 + \sqrt{3}) \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$(2 + \sqrt{3}) \tan^2 x - (3 + \sqrt{3}) \tan x + 1 = 0$
Сделаем замену $t = \tan x$, получим квадратное уравнение:
$(2 + \sqrt{3}) t^2 - (3 + \sqrt{3}) t + 1 = 0$
Сумма коэффициентов этого уравнения $(2 + \sqrt{3}) - (3 + \sqrt{3}) + 1 = 2 + \sqrt{3} - 3 - \sqrt{3} + 1 = 0$. Значит, один из корней равен $t_1 = 1$.
Второй корень найдем по теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = \frac{c}{a}$, т.е. $1 \cdot t_2 = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$.
$t_2 = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$.
Вернемся к замене:
1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.
2) $\tan x = 2 - \sqrt{3}$. Это табличное значение для $\tan(\frac{\pi}{12})$. Таким образом, $x = \frac{\pi}{12} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x = \frac{\pi}{12} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

г) $(1 + \sqrt{3}) \sin^2 x + 2\sqrt{3} \sin x \cos x + (\sqrt{3} - 1) \cos^2 x = 0$

Это также однородное уравнение второй степени. Как и в предыдущем пункте, $\cos x \neq 0$. Разделим уравнение на $\cos^2 x$:
$(1 + \sqrt{3}) \tan^2 x + 2\sqrt{3} \tan x + (\sqrt{3} - 1) = 0$
Сделаем замену $t = \tan x$:
$(1 + \sqrt{3}) t^2 + 2\sqrt{3} t + (\sqrt{3} - 1) = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = (2\sqrt{3})^2 - 4(1 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1) = 12 - 4(\sqrt{3}^2 - 1^2) = 12 - 4(3 - 1) = 12 - 8 = 4$.
$\sqrt{D} = 2$.
Найдем корни:
$t_1 = \frac{-2\sqrt{3} - 2}{2(1 + \sqrt{3})} = \frac{-2(\sqrt{3} + 1)}{2(1 + \sqrt{3})} = -1$.
$t_2 = \frac{-2\sqrt{3} + 2}{2(1 + \sqrt{3})} = \frac{2(1 - \sqrt{3})}{2(1 + \sqrt{3})} = \frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(1 - \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{1 - 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{-2} = \sqrt{3} - 2$.
Вернемся к замене:
1) $\tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.
2) $\tan x = \sqrt{3} - 2 = -(2 - \sqrt{3})$. Поскольку $\tan(\frac{\pi}{12}) = 2 - \sqrt{3}$, то $\tan x = -\tan(\frac{\pi}{12}) = \tan(-\frac{\pi}{12})$.
Отсюда $x = -\frac{\pi}{12} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad x = -\frac{\pi}{12} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

Решите неравенство (11.52–11.54):

11.52* a) $\sin x + \cos x > -\sqrt{2}$;

б) $\sin x - \cos x < \sqrt{2}$;

в) $\sin x + \cos x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

г) $\sin x - \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$;

д) $\sin x + \sqrt{3} \cos x > 1$;

e) $\sin x - \sqrt{3} \cos x < -1$;

ж) $3 \sin x - 4 \cos x > 0$;

з) $5 \sin x - 12 \cos x < 0$.

а) $\sin x + \cos x > -\sqrt{2}$

Для решения неравенств вида $a \sin x + b \cos x > c$ применяется метод введения вспомогательного угла. Преобразуем левую часть неравенства. Умножим и разделим ее на $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$:

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x) > -\sqrt{2}$

Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos(\frac{\pi}{4})$ и $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin(\frac{\pi}{4})$. Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$, получаем:

$\sqrt{2}(\sin x \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{4})) > -\sqrt{2}$

$\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) > -\sqrt{2}$

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) > -1$

Поскольку область значений функции синус – это отрезок $[-1, 1]$, неравенство $\sin(t) > -1$ выполняется для всех значений $t$, при которых $\sin(t) \neq -1$.

Равенство $\sin(t) = -1$ достигается при $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = x + \frac{\pi}{4}$, поэтому $x + \frac{\pi}{4} \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

$x \neq -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$x \neq -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, решением неравенства являются все действительные числа, кроме указанных точек.

Ответ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\}$.

б) $\sin x - \cos x < \sqrt{2}$

Используем метод вспомогательного угла. Коэффициент при $\sin x$ равен 1, при $\cos x$ равен -1. Вынесем за скобки множитель $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$:

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x) < \sqrt{2}$

Поскольку $\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos(\frac{\pi}{4})$ и $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin(\frac{\pi}{4})$, преобразуем выражение в скобках по формуле синуса разности $\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$:

$\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4}) < \sqrt{2}$

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) < 1$

Область значений функции синус $[-1, 1]$, поэтому неравенство $\sin(t) < 1$ выполняется для всех $t$, при которых $\sin(t) \neq 1$.

Равенство $\sin(t) = 1$ достигается при $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = x - \frac{\pi}{4}$, поэтому $x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

$x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$x \neq \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\}$.

в) $\sin x + \cos x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Преобразуем левую часть с помощью метода вспомогательного угла. Вынесем за скобки $\sqrt{2}$:

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) > -\frac{1}{2}$

Пусть $t = x + \frac{\pi}{4}$. Решим неравенство $\sin t > -\frac{1}{2}$.

Решениями уравнения $\sin t = -\frac{1}{2}$ являются $t = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $t = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$.

С помощью единичной окружности находим, что $\sin t > -\frac{1}{2}$ при $t \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k)$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x + \frac{\pi}{4} < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$-\frac{2\pi+3\pi}{12} + 2\pi k < x < \frac{14\pi-3\pi}{12} + 2\pi k$

$-\frac{5\pi}{12} + 2\pi k < x < \frac{11\pi}{12} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{12} + 2\pi k, \frac{11\pi}{12} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

г) $\sin x - \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Преобразуем левую часть с помощью метода вспомогательного угла:

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x) > \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4}) > \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) > \frac{1}{2}$

Пусть $t = x - \frac{\pi}{4}$. Решим неравенство $\sin t > \frac{1}{2}$.

Решениями уравнения $\sin t = \frac{1}{2}$ являются $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.

Неравенство $\sin t > \frac{1}{2}$ выполняется при $t \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k)$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$

$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$\frac{2\pi+3\pi}{12} + 2\pi k < x < \frac{10\pi+3\pi}{12} + 2\pi k$

$\frac{5\pi}{12} + 2\pi k < x < \frac{13\pi}{12} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{5\pi}{12} + 2\pi k, \frac{13\pi}{12} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

д) $\sin x + \sqrt{3} \cos x > 1$

Используем метод вспомогательного угла. Вынесем за скобки множитель $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$:

$2(\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x) > 1$

Так как $\frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3})$, получаем:

$2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) > 1$

$\sin(x + \frac{\pi}{3}) > \frac{1}{2}$

Решение этого неравенства (аналогично пункту г)):

$\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x + \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$

$\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

е) $\sin x - \sqrt{3} \cos x < -1$

Используем метод вспомогательного угла. Вынесем за скобки множитель $\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2$:

$2(\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x) < -1$

$2 \sin(x - \frac{\pi}{3}) < -1$

$\sin(x - \frac{\pi}{3}) < -\frac{1}{2}$

Пусть $t = x - \frac{\pi}{3}$. Решим неравенство $\sin t < -\frac{1}{2}$.

Неравенство выполняется при $t \in (-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, -\frac{\pi}{6} + 2\pi k)$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x - \frac{\pi}{3} < -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$-\frac{3\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

ж) $3 \sin x - 4 \cos x > 0$

Используем метод вспомогательного угла. Вынесем за скобки множитель $\sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5$:

$5(\frac{3}{5} \sin x - \frac{4}{5} \cos x) > 0$

Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos \phi = \frac{3}{5}$ и $\sin \phi = \frac{4}{5}$. Такой угол существует, так как $(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = 1$. Например, $\phi = \arccos(\frac{3}{5})$.

Неравенство принимает вид:

$5(\sin x \cos \phi - \cos x \sin \phi) > 0$

$\sin(x - \phi) > 0$

Решением неравенства $\sin t > 0$ является интервал $t \in (2\pi k, \pi + 2\pi k)$.

Следовательно:

$2\pi k < x - \phi < \pi + 2\pi k$

$\phi + 2\pi k < x < \pi + \phi + 2\pi k$

Подставляя значение $\phi$:

$\arccos(\frac{3}{5}) + 2\pi k < x < \pi + \arccos(\frac{3}{5}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\arccos(\frac{3}{5}) + 2\pi k, \pi + \arccos(\frac{3}{5}) + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

з) $5 \sin x - 12 \cos x < 0$

Используем метод вспомогательного угла. Вынесем за скобки множитель $\sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{169} = 13$:

$13(\frac{5}{13} \sin x - \frac{12}{13} \cos x) < 0$

Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos \phi = \frac{5}{13}$ и $\sin \phi = \frac{12}{13}$. Например, $\phi = \arccos(\frac{5}{13})$.

Неравенство принимает вид:

$13(\sin x \cos \phi - \cos x \sin \phi) < 0$

$\sin(x - \phi) < 0$

Решением неравенства $\sin t < 0$ является интервал $t \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, что эквивалентно $t \in (-\pi + 2\pi k, 2\pi k)$.

Используем второй вариант записи:

$-\pi + 2\pi k < x - \phi < 2\pi k$

$\phi - \pi + 2\pi k < x < \phi + 2\pi k$

Подставляя значение $\phi$:

$\arccos(\frac{5}{13}) - \pi + 2\pi k < x < \arccos(\frac{5}{13}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\arccos(\frac{5}{13}) - \pi + 2\pi k, \arccos(\frac{5}{13}) + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.