Номер 11.49, страница 326 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. 11.8*. Введение вспомогательного угла - номер 11.49, страница 326.

Условие.

11.49 a) $3 \sin x + 4 \cos x = 5;$

Б) $3 \sin x - 4 \cos x = -5;$

В) $4 \sin x - 3 \cos x = 5;$

Г) $4 \sin x + 3 \cos x = -5;$

Д) $5 \sin x + 12 \cos x = 13;$

е) $5 \sin x - 12 \cos x = -13;$

Ж) $12 \sin x - 5 \cos x = 13;$

З) $12 \sin x + 5 \cos x = -13.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $3 \sin x + 4 \cos x = 5$

Данное уравнение имеет вид $a \sin x + b \cos x = c$. Для его решения применим метод введения вспомогательного угла. Здесь коэффициенты $a=3$, $b=4$.

Вычислим множитель $R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Разделим обе части уравнения на $R=5$:

$\frac{3}{5} \sin x + \frac{4}{5} \cos x = 1$

Введем вспомогательный угол $\alpha$ такой, что $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ и $\cos \alpha = \frac{4}{5}$. Такой угол существует, так как $(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = 1$. В качестве $\alpha$ можно выбрать $\alpha = \arcsin(\frac{3}{5})$.

Перепишем уравнение, используя $\alpha$:

$\sin \alpha \sin x + \cos \alpha \cos x = 1$

Применяя формулу косинуса разности $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$, получаем:

$\cos(x - \alpha) = 1$

Решение этого простейшего тригонометрического уравнения:

$x - \alpha = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \alpha + 2\pi n$

Подставляя значение $\alpha = \arcsin(\frac{3}{5})$, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \arcsin(\frac{3}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $3 \sin x - 4 \cos x = -5$

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a=3$, $b=-4$.

Вычислим $R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3^2+(-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Разделим обе части уравнения на $R=5$:

$\frac{3}{5} \sin x - \frac{4}{5} \cos x = -1$

Введем вспомогательный угол $\alpha$ такой, что $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ и $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$. Такой угол $\alpha$ находится во второй четверти и может быть выражен как $\alpha = \arccos(-\frac{4}{5})$.

Уравнение принимает вид:

$\sin \alpha \sin x + \cos \alpha \cos x = -1$

Используя формулу косинуса разности, получаем:

$\cos(x - \alpha) = -1$

Решение этого уравнения:

$x - \alpha = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \pi + \alpha + 2\pi n$

Подставим $\alpha = \arccos(-\frac{4}{5})$. Используя тождество $\arccos(-t) = \pi - \arccos(t)$, получим $\alpha = \pi - \arccos(\frac{4}{5})$.

$x = \pi + (\pi - \arccos(\frac{4}{5})) + 2\pi n = 2\pi - \arccos(\frac{4}{5}) + 2\pi n$.

Так как $2\pi n$ представляет все целые числа, кратные $2\pi$, слагаемое $2\pi$ можно поглотить, заменив $n$ на $k=n+1$.

$x = -\arccos(\frac{4}{5}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используя $\arccos(\frac{4}{5}) = \arcsin(\frac{3}{5})$, можно записать ответ в более простом виде.

Ответ: $x = -\arcsin(\frac{3}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $4 \sin x - 3 \cos x = 5$

В данном уравнении $a=4$, $b=-3$.

Вычислим $R = \sqrt{4^2+(-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.

Разделим обе части уравнения на $5$:

$\frac{4}{5} \sin x - \frac{3}{5} \cos x = 1$

Введем вспомогательный угол $\alpha$ такой, что $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ и $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$. Этот угол находится во второй четверти, $\alpha = \arccos(-\frac{3}{5})$.

Уравнение преобразуется к виду:

$\sin \alpha \sin x + \cos \alpha \cos x = 1 \implies \cos(x - \alpha) = 1$

$x - \alpha = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \alpha + 2\pi n = \arccos(-\frac{3}{5}) + 2\pi n$.

Используя $\arccos(-t) = \pi - \arccos(t)$ и $\arccos(\frac{3}{5})=\arcsin(\frac{4}{5})$, получаем:

$x = \pi - \arccos(\frac{3}{5}) + 2\pi n = \pi - \arcsin(\frac{4}{5}) + 2\pi n$.

Ответ: $x = \pi - \arcsin(\frac{4}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $4 \sin x + 3 \cos x = -5$

Здесь $a=4$, $b=3$.

$R = \sqrt{4^2+3^2} = 5$.

Разделим уравнение на $5$:

$\frac{4}{5} \sin x + \frac{3}{5} \cos x = -1$

Пусть $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ и $\cos \alpha = \frac{3}{5}$. Тогда $\alpha = \arcsin(\frac{4}{5})$.

Уравнение примет вид:

$\sin \alpha \sin x + \cos \alpha \cos x = -1 \implies \cos(x - \alpha) = -1$

$x - \alpha = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \pi + \alpha + 2\pi n$.

Ответ: $x = \pi + \arcsin(\frac{4}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

д) $5 \sin x + 12 \cos x = 13$

Здесь $a=5$, $b=12$.

$R = \sqrt{5^2+12^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$.

Разделим уравнение на $13$:

$\frac{5}{13} \sin x + \frac{12}{13} \cos x = 1$

Пусть $\sin \alpha = \frac{5}{13}$ и $\cos \alpha = \frac{12}{13}$. Тогда $\alpha = \arcsin(\frac{5}{13})$.

Уравнение примет вид:

$\sin \alpha \sin x + \cos \alpha \cos x = 1 \implies \cos(x - \alpha) = 1$

$x - \alpha = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \alpha + 2\pi n$.

Ответ: $x = \arcsin(\frac{5}{13}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

е) $5 \sin x - 12 \cos x = -13$

Здесь $a=5$, $b=-12$.

$R = \sqrt{5^2+(-12)^2} = \sqrt{25+144} = 13$.

Разделим уравнение на $13$:

$\frac{5}{13} \sin x - \frac{12}{13} \cos x = -1$

Пусть $\sin \alpha = \frac{5}{13}$ и $\cos \alpha = -\frac{12}{13}$. Тогда $\alpha = \arccos(-\frac{12}{13})$.

Уравнение примет вид:

$\sin \alpha \sin x + \cos \alpha \cos x = -1 \implies \cos(x - \alpha) = -1$

$x - \alpha = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \pi + \alpha + 2\pi n = \pi + \arccos(-\frac{12}{13}) + 2\pi n$.

Упростим, используя $\arccos(-t)=\pi-\arccos(t)$ и $\arccos(\frac{12}{13})=\arcsin(\frac{5}{13})$:

$x = \pi + (\pi - \arccos(\frac{12}{13})) + 2\pi n = 2\pi - \arccos(\frac{12}{13}) + 2\pi n = -\arccos(\frac{12}{13}) + 2\pi k = -\arcsin(\frac{5}{13}) + 2\pi k$.

Ответ: $x = -\arcsin(\frac{5}{13}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

ж) $12 \sin x - 5 \cos x = 13$

Здесь $a=12$, $b=-5$.

$R = \sqrt{12^2+(-5)^2} = \sqrt{144+25} = 13$.

Разделим уравнение на $13$:

$\frac{12}{13} \sin x - \frac{5}{13} \cos x = 1$

Пусть $\sin \alpha = \frac{12}{13}$ и $\cos \alpha = -\frac{5}{13}$. Тогда $\alpha = \arccos(-\frac{5}{13})$.

Уравнение примет вид:

$\sin \alpha \sin x + \cos \alpha \cos x = 1 \implies \cos(x - \alpha) = 1$

$x - \alpha = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \alpha + 2\pi n = \arccos(-\frac{5}{13}) + 2\pi n$.

Упростим, используя $\arccos(-t)=\pi-\arccos(t)$ и $\arccos(\frac{5}{13})=\arcsin(\frac{12}{13})$:

$x = \pi - \arccos(\frac{5}{13}) + 2\pi n = \pi - \arcsin(\frac{12}{13}) + 2\pi n$.

Ответ: $x = \pi - \arcsin(\frac{12}{13}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

з) $12 \sin x + 5 \cos x = -13$

Здесь $a=12$, $b=5$.

$R = \sqrt{12^2+5^2} = 13$.

Разделим уравнение на $13$:

$\frac{12}{13} \sin x + \frac{5}{13} \cos x = -1$

Пусть $\sin \alpha = \frac{12}{13}$ и $\cos \alpha = \frac{5}{13}$. Тогда $\alpha = \arcsin(\frac{12}{13})$.

Уравнение примет вид:

$\sin \alpha \sin x + \cos \alpha \cos x = -1 \implies \cos(x - \alpha) = -1$

$x - \alpha = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \pi + \alpha + 2\pi n$.

Ответ: $x = \pi + \arcsin(\frac{12}{13}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.