Номер 11.49, страница 326 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
11.8*. Введение вспомогательного угла. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.49, страница 326.
№11.49 (с. 326)
Условие. №11.49 (с. 326)
скриншот условия

11.49 a) $3 \sin x + 4 \cos x = 5;$
Б) $3 \sin x - 4 \cos x = -5;$
В) $4 \sin x - 3 \cos x = 5;$
Г) $4 \sin x + 3 \cos x = -5;$
Д) $5 \sin x + 12 \cos x = 13;$
е) $5 \sin x - 12 \cos x = -13;$
Ж) $12 \sin x - 5 \cos x = 13;$
З) $12 \sin x + 5 \cos x = -13.$
Решение 1. №11.49 (с. 326)








Решение 2. №11.49 (с. 326)

Решение 3. №11.49 (с. 326)


Решение 4. №11.49 (с. 326)


Решение 5. №11.49 (с. 326)
а) $3 \sin x + 4 \cos x = 5$
Данное уравнение имеет вид $a \sin x + b \cos x = c$. Для его решения применим метод введения вспомогательного угла. Здесь коэффициенты $a=3$, $b=4$.
Вычислим множитель $R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.
Разделим обе части уравнения на $R=5$:
$\frac{3}{5} \sin x + \frac{4}{5} \cos x = 1$
Введем вспомогательный угол $\alpha$ такой, что $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ и $\cos \alpha = \frac{4}{5}$. Такой угол существует, так как $(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = 1$. В качестве $\alpha$ можно выбрать $\alpha = \arcsin(\frac{3}{5})$.
Перепишем уравнение, используя $\alpha$:
$\sin \alpha \sin x + \cos \alpha \cos x = 1$
Применяя формулу косинуса разности $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$, получаем:
$\cos(x - \alpha) = 1$
Решение этого простейшего тригонометрического уравнения:
$x - \alpha = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \alpha + 2\pi n$
Подставляя значение $\alpha = \arcsin(\frac{3}{5})$, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x = \arcsin(\frac{3}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) $3 \sin x - 4 \cos x = -5$
Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a=3$, $b=-4$.
Вычислим $R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3^2+(-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.
Разделим обе части уравнения на $R=5$:
$\frac{3}{5} \sin x - \frac{4}{5} \cos x = -1$
Введем вспомогательный угол $\alpha$ такой, что $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ и $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$. Такой угол $\alpha$ находится во второй четверти и может быть выражен как $\alpha = \arccos(-\frac{4}{5})$.
Уравнение принимает вид:
$\sin \alpha \sin x + \cos \alpha \cos x = -1$
Используя формулу косинуса разности, получаем:
$\cos(x - \alpha) = -1$
Решение этого уравнения:
$x - \alpha = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \pi + \alpha + 2\pi n$
Подставим $\alpha = \arccos(-\frac{4}{5})$. Используя тождество $\arccos(-t) = \pi - \arccos(t)$, получим $\alpha = \pi - \arccos(\frac{4}{5})$.
$x = \pi + (\pi - \arccos(\frac{4}{5})) + 2\pi n = 2\pi - \arccos(\frac{4}{5}) + 2\pi n$.
Так как $2\pi n$ представляет все целые числа, кратные $2\pi$, слагаемое $2\pi$ можно поглотить, заменив $n$ на $k=n+1$.
$x = -\arccos(\frac{4}{5}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Используя $\arccos(\frac{4}{5}) = \arcsin(\frac{3}{5})$, можно записать ответ в более простом виде.
Ответ: $x = -\arcsin(\frac{3}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
в) $4 \sin x - 3 \cos x = 5$
В данном уравнении $a=4$, $b=-3$.
Вычислим $R = \sqrt{4^2+(-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.
Разделим обе части уравнения на $5$:
$\frac{4}{5} \sin x - \frac{3}{5} \cos x = 1$
Введем вспомогательный угол $\alpha$ такой, что $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ и $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$. Этот угол находится во второй четверти, $\alpha = \arccos(-\frac{3}{5})$.
Уравнение преобразуется к виду:
$\sin \alpha \sin x + \cos \alpha \cos x = 1 \implies \cos(x - \alpha) = 1$
$x - \alpha = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \alpha + 2\pi n = \arccos(-\frac{3}{5}) + 2\pi n$.
Используя $\arccos(-t) = \pi - \arccos(t)$ и $\arccos(\frac{3}{5})=\arcsin(\frac{4}{5})$, получаем:
$x = \pi - \arccos(\frac{3}{5}) + 2\pi n = \pi - \arcsin(\frac{4}{5}) + 2\pi n$.
Ответ: $x = \pi - \arcsin(\frac{4}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
г) $4 \sin x + 3 \cos x = -5$
Здесь $a=4$, $b=3$.
$R = \sqrt{4^2+3^2} = 5$.
Разделим уравнение на $5$:
$\frac{4}{5} \sin x + \frac{3}{5} \cos x = -1$
Пусть $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ и $\cos \alpha = \frac{3}{5}$. Тогда $\alpha = \arcsin(\frac{4}{5})$.
Уравнение примет вид:
$\sin \alpha \sin x + \cos \alpha \cos x = -1 \implies \cos(x - \alpha) = -1$
$x - \alpha = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \pi + \alpha + 2\pi n$.
Ответ: $x = \pi + \arcsin(\frac{4}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
д) $5 \sin x + 12 \cos x = 13$
Здесь $a=5$, $b=12$.
$R = \sqrt{5^2+12^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$.
Разделим уравнение на $13$:
$\frac{5}{13} \sin x + \frac{12}{13} \cos x = 1$
Пусть $\sin \alpha = \frac{5}{13}$ и $\cos \alpha = \frac{12}{13}$. Тогда $\alpha = \arcsin(\frac{5}{13})$.
Уравнение примет вид:
$\sin \alpha \sin x + \cos \alpha \cos x = 1 \implies \cos(x - \alpha) = 1$
$x - \alpha = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \alpha + 2\pi n$.
Ответ: $x = \arcsin(\frac{5}{13}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
е) $5 \sin x - 12 \cos x = -13$
Здесь $a=5$, $b=-12$.
$R = \sqrt{5^2+(-12)^2} = \sqrt{25+144} = 13$.
Разделим уравнение на $13$:
$\frac{5}{13} \sin x - \frac{12}{13} \cos x = -1$
Пусть $\sin \alpha = \frac{5}{13}$ и $\cos \alpha = -\frac{12}{13}$. Тогда $\alpha = \arccos(-\frac{12}{13})$.
Уравнение примет вид:
$\sin \alpha \sin x + \cos \alpha \cos x = -1 \implies \cos(x - \alpha) = -1$
$x - \alpha = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \pi + \alpha + 2\pi n = \pi + \arccos(-\frac{12}{13}) + 2\pi n$.
Упростим, используя $\arccos(-t)=\pi-\arccos(t)$ и $\arccos(\frac{12}{13})=\arcsin(\frac{5}{13})$:
$x = \pi + (\pi - \arccos(\frac{12}{13})) + 2\pi n = 2\pi - \arccos(\frac{12}{13}) + 2\pi n = -\arccos(\frac{12}{13}) + 2\pi k = -\arcsin(\frac{5}{13}) + 2\pi k$.
Ответ: $x = -\arcsin(\frac{5}{13}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
ж) $12 \sin x - 5 \cos x = 13$
Здесь $a=12$, $b=-5$.
$R = \sqrt{12^2+(-5)^2} = \sqrt{144+25} = 13$.
Разделим уравнение на $13$:
$\frac{12}{13} \sin x - \frac{5}{13} \cos x = 1$
Пусть $\sin \alpha = \frac{12}{13}$ и $\cos \alpha = -\frac{5}{13}$. Тогда $\alpha = \arccos(-\frac{5}{13})$.
Уравнение примет вид:
$\sin \alpha \sin x + \cos \alpha \cos x = 1 \implies \cos(x - \alpha) = 1$
$x - \alpha = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \alpha + 2\pi n = \arccos(-\frac{5}{13}) + 2\pi n$.
Упростим, используя $\arccos(-t)=\pi-\arccos(t)$ и $\arccos(\frac{5}{13})=\arcsin(\frac{12}{13})$:
$x = \pi - \arccos(\frac{5}{13}) + 2\pi n = \pi - \arcsin(\frac{12}{13}) + 2\pi n$.
Ответ: $x = \pi - \arcsin(\frac{12}{13}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
з) $12 \sin x + 5 \cos x = -13$
Здесь $a=12$, $b=5$.
$R = \sqrt{12^2+5^2} = 13$.
Разделим уравнение на $13$:
$\frac{12}{13} \sin x + \frac{5}{13} \cos x = -1$
Пусть $\sin \alpha = \frac{12}{13}$ и $\cos \alpha = \frac{5}{13}$. Тогда $\alpha = \arcsin(\frac{12}{13})$.
Уравнение примет вид:
$\sin \alpha \sin x + \cos \alpha \cos x = -1 \implies \cos(x - \alpha) = -1$
$x - \alpha = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \pi + \alpha + 2\pi n$.
Ответ: $x = \pi + \arcsin(\frac{12}{13}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 11.49 расположенного на странице 326 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.49 (с. 326), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.