Номер 11.53, страница 327 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
11.8*. Введение вспомогательного угла. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.53, страница 327.
№11.53 (с. 327)
Условие. №11.53 (с. 327)
скриншот условия

11.53* а) $2\sqrt{3} \sin^2 x + 2 \sin x \cos x > \sqrt{3} + 1;$
б) $2 \sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x \cos x > \sqrt{2} - 1;$
в) $2 \sin^2 x + 2\sqrt{3} \sin x \cos x < \sqrt{2} + 1;$
г) $2 \sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x \cos x < 1 + \sqrt{3}.$
Решение 1. №11.53 (с. 327)




Решение 2. №11.53 (с. 327)

Решение 3. №11.53 (с. 327)

Решение 4. №11.53 (с. 327)


Решение 5. №11.53 (с. 327)
а) $2\sqrt{3} \sin^2 x + 2 \sin x \cos x > \sqrt{3} + 1$
Для решения данного тригонометрического неравенства воспользуемся формулами двойного угла: $2\sin^2 x = 1 - \cos(2x)$ и $2\sin x \cos x = \sin(2x)$.
Преобразуем левую часть неравенства:
$2\sqrt{3} \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = \sqrt{3}(2 \sin^2 x) + (2 \sin x \cos x) = \sqrt{3}(1 - \cos(2x)) + \sin(2x)$
Подставим это выражение в исходное неравенство:
$\sqrt{3}(1 - \cos(2x)) + \sin(2x) > \sqrt{3} + 1$
$\sqrt{3} - \sqrt{3}\cos(2x) + \sin(2x) > \sqrt{3} + 1$
$\sin(2x) - \sqrt{3}\cos(2x) > 1$
Применим метод вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $R = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.
$2 \left( \frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2x) \right) > 1$
$\frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2x) > \frac{1}{2}$
Заметим, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда неравенство принимает вид:
$\sin(2x)\cos(\frac{\pi}{3}) - \cos(2x)\sin(\frac{\pi}{3}) > \frac{1}{2}$
$\sin(2x - \frac{\pi}{3}) > \frac{1}{2}$
Пусть $t = 2x - \frac{\pi}{3}$. Решим неравенство $\sin t > \frac{1}{2}$.
Решением этого неравенства является интервал $\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Сделаем обратную замену:
$\frac{\pi}{6} + 2\pi k < 2x - \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$
Прибавим $\frac{\pi}{3}$ ко всем частям неравенства:
$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k < 2x < \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$\frac{3\pi}{6} + 2\pi k < 2x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 2x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$
Разделим все части на 2:
$\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{7\pi}{12} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in \left(\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{7\pi}{12} + \pi k\right), k \in \mathbb{Z}$.
б) $2 \sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x \cos x > \sqrt{2} - 1$
Используем формулы $2\sin^2 x = 1 - \cos(2x)$ и $2\sin x \cos x = \sin(2x)$.
$(1 - \cos(2x)) - \sqrt{3}\sin(2x) > \sqrt{2} - 1$
$1 - \cos(2x) - \sqrt{3}\sin(2x) > \sqrt{2} - 1$
$-\cos(2x) - \sqrt{3}\sin(2x) > \sqrt{2} - 2$
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$\cos(2x) + \sqrt{3}\sin(2x) < 2 - \sqrt{2}$
Применим метод вспомогательного угла. $R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$.
$2 \left( \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x) \right) < 2 - \sqrt{2}$
$\frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x) < 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$
Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$\cos(2x)\cos(\frac{\pi}{3}) + \sin(2x)\sin(\frac{\pi}{3}) < 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos(2x - \frac{\pi}{3}) < 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$
Пусть $t = 2x - \frac{\pi}{3}$. Решим неравенство $\cos t < 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Пусть $\gamma = \arccos(1 - \frac{\sqrt{2}}{2})$. Решением неравенства $\cos t < c$ является интервал $\gamma + 2\pi k < t < 2\pi - \gamma + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Сделаем обратную замену:
$\gamma + 2\pi k < 2x - \frac{\pi}{3} < 2\pi - \gamma + 2\pi k$
$\frac{\pi}{3} + \gamma + 2\pi k < 2x < 2\pi + \frac{\pi}{3} - \gamma + 2\pi k$
$\frac{\pi}{3} + \gamma + 2\pi k < 2x < \frac{7\pi}{3} - \gamma + 2\pi k$
Разделим на 2:
$\frac{\pi}{6} + \frac{\gamma}{2} + \pi k < x < \frac{7\pi}{6} - \frac{\gamma}{2} + \pi k$, где $\gamma = \arccos(1 - \frac{\sqrt{2}}{2})$, $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in \left(\frac{\pi}{6} + \frac{1}{2}\arccos(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi k, \frac{7\pi}{6} - \frac{1}{2}\arccos(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi k\right), k \in \mathbb{Z}$.
в) $2 \sin^2 x + 2\sqrt{3} \sin x \cos x < \sqrt{2} + 1$
Преобразуем, используя те же формулы:
$(1 - \cos(2x)) + \sqrt{3}\sin(2x) < \sqrt{2} + 1$
$\sqrt{3}\sin(2x) - \cos(2x) < \sqrt{2}$
Применим метод вспомогательного угла. $R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = 2$.
$2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x) - \frac{1}{2}\cos(2x) \right) < \sqrt{2}$
$\sin(2x)\cos(\frac{\pi}{6}) - \cos(2x)\sin(\frac{\pi}{6}) < \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin(2x - \frac{\pi}{6}) < \frac{\sqrt{2}}{2}$
Пусть $t = 2x - \frac{\pi}{6}$. Решим неравенство $\sin t < \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решением является интервал $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < t < 2\pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, то есть $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{9\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Сделаем обратную замену:
$\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < 2x - \frac{\pi}{6} < \frac{9\pi}{4} + 2\pi k$
$\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k < 2x < \frac{9\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{9\pi + 2\pi}{12} + 2\pi k < 2x < \frac{27\pi + 2\pi}{12} + 2\pi k$
$\frac{11\pi}{12} + 2\pi k < 2x < \frac{29\pi}{12} + 2\pi k$
Разделим на 2:
$\frac{11\pi}{24} + \pi k < x < \frac{29\pi}{24} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in \left(\frac{11\pi}{24} + \pi k, \frac{29\pi}{24} + \pi k\right), k \in \mathbb{Z}$.
г) $2 \sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x \cos x < 1 + \sqrt{3}$
Используем те же преобразования:
$(1 - \cos(2x)) - \sqrt{3}\sin(2x) < 1 + \sqrt{3}$
$-\cos(2x) - \sqrt{3}\sin(2x) < \sqrt{3}$
$\cos(2x) + \sqrt{3}\sin(2x) > -\sqrt{3}$
Применим метод вспомогательного угла. $R=2$.
$2 \left( \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x) \right) > -\sqrt{3}$
$\cos(2x - \frac{\pi}{3}) > -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Пусть $t = 2x - \frac{\pi}{3}$. Решим неравенство $\cos t > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решением является интервал $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Сделаем обратную замену:
$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < 2x - \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$
$-\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k < 2x < \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$-\frac{3\pi}{6} + 2\pi k < 2x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 2x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$
Разделим на 2:
$-\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{7\pi}{12} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{7\pi}{12} + \pi k\right), k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 11.53 расположенного на странице 327 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.53 (с. 327), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.