Номер 11.54, страница 327 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. 11.8*. Введение вспомогательного угла - номер 11.54, страница 327.

Условие.

11.54* a) $3 \sin^2 x + 2\sqrt{3} \sin x \cos x - 3 \cos^2 x < 0;$

б) $3 \sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x \cos x - 3 \cos^2 x > 0;$

в) $\sin^2 x - (\sqrt{3} - 1) \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos^2 x > 0;$

г) $\sin^2 x + (\sqrt{3} - 1) \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos^2 x < 0;$

д) $3 \sin^2 x - 8 \sin x \cos x - 5 \cos^2 x \ge 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $3 \sin^2 x + 2\sqrt{3} \sin x \cos x - 3 \cos^2 x < 0$

Это однородное тригонометрическое неравенство второй степени. Проверим случай, когда $ \cos x = 0 $. В этом случае $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $, и $ \sin^2 x = 1 $. Подставив в неравенство, получим $ 3 \cdot 1 + 2\sqrt{3} \sin x \cdot 0 - 3 \cdot 0 < 0 $, что упрощается до $ 3 < 0 $. Это неверно, следовательно, значения $ x $, при которых $ \cos x = 0 $, не являются решениями.

Поскольку $ \cos x \neq 0 $, мы можем разделить обе части неравенства на $ \cos^2 x $. Так как $ \cos^2 x > 0 $, знак неравенства не изменится.

$ \frac{3 \sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{2\sqrt{3} \sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{3 \cos^2 x}{\cos^2 x} < 0 $

$ 3 \tan^2 x + 2\sqrt{3} \tan x - 3 < 0 $

Сделаем замену $ t = \tan x $. Получим квадратное неравенство:

$ 3t^2 + 2\sqrt{3}t - 3 < 0 $

Найдем корни соответствующего уравнения $ 3t^2 + 2\sqrt{3}t - 3 = 0 $ с помощью дискриминанта:

$ D = (2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 12 + 36 = 48 $

$ t_{1,2} = \frac{-2\sqrt{3} \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3} = \frac{-2\sqrt{3} \pm 4\sqrt{3}}{6} $

Корни: $ t_1 = \frac{-2\sqrt{3} - 4\sqrt{3}}{6} = \frac{-6\sqrt{3}}{6} = -\sqrt{3} $ и $ t_2 = \frac{-2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Парабола $ y = 3t^2 + 2\sqrt{3}t - 3 $ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $ y < 0 $ выполняется между корнями: $ -\sqrt{3} < t < \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Возвращаемся к переменной $ x $:

$ -\sqrt{3} < \tan x < \frac{\sqrt{3}}{3} $

Это двойное неравенство решается на тригонометрическом круге. Учитывая, что $ \tan(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} $ и $ \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3} $, и тангенс является возрастающей функцией на интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $, решением будет интервал, заключенный между этими значениями. С учетом периодичности тангенса, общее решение:

$ -\frac{\pi}{3} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{6} + \pi n), n \in \mathbb{Z} $.

б) $3 \sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x \cos x - 3 \cos^2 x > 0$

Это однородное тригонометрическое неравенство. Проверим случай $ \cos x = 0 $. Тогда $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $, и $ \sin^2 x = 1 $. Неравенство принимает вид $ 3 \cdot 1 - 0 - 0 > 0 $, то есть $ 3 > 0 $. Это верно, значит, $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $ являются решениями.

При $ \cos x \neq 0 $, разделим неравенство на $ \cos^2 x > 0 $:

$ 3 \tan^2 x - 2\sqrt{3} \tan x - 3 > 0 $

Пусть $ t = \tan x $. Решим неравенство $ 3t^2 - 2\sqrt{3}t - 3 > 0 $.

Найдем корни уравнения $ 3t^2 - 2\sqrt{3}t - 3 = 0 $:

$ D = (-2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 12 + 36 = 48 $

$ t_{1,2} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{48}}{6} = \frac{2\sqrt{3} \pm 4\sqrt{3}}{6} $

Корни: $ t_1 = \frac{2\sqrt{3} - 4\sqrt{3}}{6} = -\frac{2\sqrt{3}}{6} = -\frac{\