Номер 11.54, страница 327 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.54* a) $3 \sin^2 x + 2\sqrt{3} \sin x \cos x - 3 \cos^2 x < 0;$

б) $3 \sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x \cos x - 3 \cos^2 x > 0;$

в) $\sin^2 x - (\sqrt{3} - 1) \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos^2 x > 0;$

г) $\sin^2 x + (\sqrt{3} - 1) \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos^2 x < 0;$

д) $3 \sin^2 x - 8 \sin x \cos x - 5 \cos^2 x \ge 0.$

Это однородные тригонометрические неравенства второй степени. Основной метод решения — деление на $\cos^2 x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$) с переходом к квадратному неравенству относительно $\operatorname{tg} x$.

а) $3 \sin^2 x + 2\sqrt{3} \sin x \cos x - 3 \cos^2 x < 0$

1. Разделим на $\cos^2 x$. Получим: $3 \operatorname{tg}^2 x + 2\sqrt{3} \operatorname{tg} x - 3 < 0$.
2. Решим уравнение $3t^2 + 2\sqrt{3}t - 3 = 0$. $D = (2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 12 + 36 = 48 = (4\sqrt{3})^2$.
3. Корни: $t_1 = \frac{-2\sqrt{3} - 4\sqrt{3}}{6} = -\sqrt{3}$, $t_2 = \frac{-2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
4. Неравенство $-\sqrt{3} < \operatorname{tg} x < \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{6} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$

б) $3 \sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x \cos x - 3 \cos^2 x > 0$

1. После деления: $3 \operatorname{tg}^2 x - 2\sqrt{3} \operatorname{tg} x - 3 > 0$.
2. Корни уравнения: $t_1 = \sqrt{3}$, $t_2 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
3. Решение квадратного неравенства: $\operatorname{tg} x < -\frac{\sqrt{3}}{3}$ или $\operatorname{tg} x > \sqrt{3}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi n; -\frac{\pi}{6} + \pi n) \cup (\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$

в) $\sin^2 x - (\sqrt{3} - 1) \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos^2 x > 0$

1. Делим на $\cos^2 x$: $\operatorname{tg}^2 x - (\sqrt{3} - 1) \operatorname{tg} x - \sqrt{3} > 0$.
2. По теореме Виета для уравнения $t^2 - (\sqrt{3}-1)t - \sqrt{3} = 0$: $t_1 = \sqrt{3}$, $t_2 = -1$.
3. Решение: $\operatorname{tg} x < -1$ или $\operatorname{tg} x > \sqrt{3}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi n; -\frac{\pi}{4} + \pi n) \cup (\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$

г) $\sin^2 x + (\sqrt{3} - 1) \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos^2 x < 0$

1. После деления: $\operatorname{tg}^2 x + (\sqrt{3} - 1) \operatorname{tg} x - \sqrt{3} < 0$.
2. Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = -\sqrt{3}$.
3. Неравенство: $-\sqrt{3} < \operatorname{tg} x < 1$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$

д) $3 \sin^2 x - 8 \sin x \cos x - 5 \cos^2 x \ge 0$

1. Делим на $\cos^2 x$: $3 \operatorname{tg}^2 x - 8 \operatorname{tg} x - 5 \ge 0$.
2. $D = 64 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 124 = (2\sqrt{31})^2$.
3. Корни: $t = \frac{8 \pm 2\sqrt{31}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{31}}{3}$.
4. $\operatorname{tg} x \le \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$ или $\operatorname{tg} x \ge \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi n; \operatorname{arctg}\frac{4 - \sqrt{31}}{3} + \pi n] \cup [\operatorname{arctg}\frac{4 + \sqrt{31}}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$