Номер 11.54, страница 327 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087768-8

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

11.8*. Введение вспомогательного угла. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.54, страница 327.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№11.54 (с. 327)
Условие. №11.54 (с. 327)
скриншот условия
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 327, номер 11.54, Условие

11.54* a) $3 \sin^2 x + 2\sqrt{3} \sin x \cos x - 3 \cos^2 x < 0;$

б) $3 \sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x \cos x - 3 \cos^2 x > 0;$

в) $\sin^2 x - (\sqrt{3} - 1) \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos^2 x > 0;$

г) $\sin^2 x + (\sqrt{3} - 1) \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos^2 x < 0;$

д) $3 \sin^2 x - 8 \sin x \cos x - 5 \cos^2 x \ge 0.$

Решение 1. №11.54 (с. 327)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 327, номер 11.54, Решение 1 Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 327, номер 11.54, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 327, номер 11.54, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 327, номер 11.54, Решение 1 (продолжение 4) Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 327, номер 11.54, Решение 1 (продолжение 5)
Решение 2. №11.54 (с. 327)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 327, номер 11.54, Решение 2
Решение 3. №11.54 (с. 327)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 327, номер 11.54, Решение 3 Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 327, номер 11.54, Решение 3 (продолжение 2)
Решение 4. №11.54 (с. 327)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 327, номер 11.54, Решение 4 Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 327, номер 11.54, Решение 4 (продолжение 2) Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 327, номер 11.54, Решение 4 (продолжение 3)
Решение 5. №11.54 (с. 327)

а) $3 \sin^2 x + 2\sqrt{3} \sin x \cos x - 3 \cos^2 x < 0$

Это однородное тригонометрическое неравенство второй степени. Проверим случай, когда $ \cos x = 0 $. В этом случае $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $, и $ \sin^2 x = 1 $. Подставив в неравенство, получим $ 3 \cdot 1 + 2\sqrt{3} \sin x \cdot 0 - 3 \cdot 0 < 0 $, что упрощается до $ 3 < 0 $. Это неверно, следовательно, значения $ x $, при которых $ \cos x = 0 $, не являются решениями.

Поскольку $ \cos x \neq 0 $, мы можем разделить обе части неравенства на $ \cos^2 x $. Так как $ \cos^2 x > 0 $, знак неравенства не изменится.

$ \frac{3 \sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{2\sqrt{3} \sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{3 \cos^2 x}{\cos^2 x} < 0 $

$ 3 \tan^2 x + 2\sqrt{3} \tan x - 3 < 0 $

Сделаем замену $ t = \tan x $. Получим квадратное неравенство:

$ 3t^2 + 2\sqrt{3}t - 3 < 0 $

Найдем корни соответствующего уравнения $ 3t^2 + 2\sqrt{3}t - 3 = 0 $ с помощью дискриминанта:

$ D = (2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 12 + 36 = 48 $

$ t_{1,2} = \frac{-2\sqrt{3} \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3} = \frac{-2\sqrt{3} \pm 4\sqrt{3}}{6} $

Корни: $ t_1 = \frac{-2\sqrt{3} - 4\sqrt{3}}{6} = \frac{-6\sqrt{3}}{6} = -\sqrt{3} $ и $ t_2 = \frac{-2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Парабола $ y = 3t^2 + 2\sqrt{3}t - 3 $ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $ y < 0 $ выполняется между корнями: $ -\sqrt{3} < t < \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Возвращаемся к переменной $ x $:

$ -\sqrt{3} < \tan x < \frac{\sqrt{3}}{3} $

Это двойное неравенство решается на тригонометрическом круге. Учитывая, что $ \tan(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} $ и $ \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3} $, и тангенс является возрастающей функцией на интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $, решением будет интервал, заключенный между этими значениями. С учетом периодичности тангенса, общее решение:

$ -\frac{\pi}{3} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{6} + \pi n), n \in \mathbb{Z} $.

б) $3 \sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x \cos x - 3 \cos^2 x > 0$

Это однородное тригонометрическое неравенство. Проверим случай $ \cos x = 0 $. Тогда $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $, и $ \sin^2 x = 1 $. Неравенство принимает вид $ 3 \cdot 1 - 0 - 0 > 0 $, то есть $ 3 > 0 $. Это верно, значит, $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $ являются решениями.

При $ \cos x \neq 0 $, разделим неравенство на $ \cos^2 x > 0 $:

$ 3 \tan^2 x - 2\sqrt{3} \tan x - 3 > 0 $

Пусть $ t = \tan x $. Решим неравенство $ 3t^2 - 2\sqrt{3}t - 3 > 0 $.

Найдем корни уравнения $ 3t^2 - 2\sqrt{3}t - 3 = 0 $:

$ D = (-2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 12 + 36 = 48 $

$ t_{1,2} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{48}}{6} = \frac{2\sqrt{3} \pm 4\sqrt{3}}{6} $

Корни: $ t_1 = \frac{2\sqrt{3} - 4\sqrt{3}}{6} = -\frac{2\sqrt{3}}{6} = -\frac{\

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 11.54 расположенного на странице 327 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.54 (с. 327), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться