Номер 11.59, страница 330 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.9*. Замена неизвестного t=sinx+cosx. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.59, страница 330.

11.59* Решите неравенство:

а) $ \sin 2x - 3 \sin x - 3 \cos x + 3 < 0; $

б) $ \sin 2x - \sin x - \cos x - 1 < 0; $

в) $ \sin 2x - 3 \sin x + 3 \cos x - 3 < 0; $

г) $ \sin 2x + \sin x - \cos x + 1 > 0. $

а) $sin 2x - 3 sin x - 3 cos x + 3 < 0$

Преобразуем неравенство, вынеся общий множитель и используя формулу синуса двойного угла $sin 2x = 2 sin x cos x$:

$2 sin x cos x - 3(sin x + cos x) + 3 < 0$

Сделаем замену $t = sin x + cos x$. Возведем это выражение в квадрат, чтобы выразить $sin x cos x$:

$t^2 = (sin x + cos x)^2 = sin^2 x + 2 sin x cos x + cos^2 x = 1 + 2 sin x cos x$

Отсюда получаем $2 sin x cos x = t^2 - 1$.

Найдем область допустимых значений для $t$. Используем метод вспомогательного угла:

$t = sin x + cos x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}cos x) = \sqrt{2}(cos\frac{\pi}{4}sin x + sin\frac{\pi}{4}cos x) = \sqrt{2}sin(x + \frac{\pi}{4})$

Поскольку область значений синуса $[-1, 1]$, то область значений для $t$ есть $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Подставим выражение для $t$ в исходное неравенство:

$(t^2 - 1) - 3t + 3 < 0$

$t^2 - 3t + 2 < 0$

Решим квадратное уравнение $t^2 - 3t + 2 = 0$. Корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Так как ветви параболы $y = t^2 - 3t + 2$ направлены вверх, неравенство выполняется при $1 < t < 2$.

Учтем область допустимых значений $t$: $t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Получаем систему: $\begin{cases} 1 < t < 2 \\ -\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2} \end{cases}$.

Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, решением системы является $1 < t \le \sqrt{2}$.

Выполним обратную замену:

$1 < sin x + cos x \le \sqrt{2}$

$1 < \sqrt{2}sin(x + \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}} < sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 1$

$\frac{\sqrt{2}}{2} < sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 1$

Решая это тригонометрическое неравенство (например, с помощью единичной окружности), получаем:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x + \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Вычитая $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства, находим $x$:

$2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

б) $sin 2x - sin x - cos x - 1 < 0$

Преобразуем неравенство: $2 sin x cos x - (sin x + cos x) - 1 < 0$.

Сделаем замену $t = sin x + cos x$, где $t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. Как и в предыдущем пункте, $2 sin x cos x = t^2 - 1$.

Подставим в неравенство:

$(t^2 - 1) - t - 1 < 0$

$t^2 - t - 2 < 0$

Корни уравнения $t^2 - t - 2 = 0$ равны $t_1 = -1$ и $t_2 = 2$.

Решением неравенства является интервал $-1 < t < 2$.

Учитывая область значений $t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$, получаем: $-1 < t \le \sqrt{2}$.

Выполним обратную замену:

$-1 < sin x + cos x \le \sqrt{2}$

$-1 < \sqrt{2}sin(x + \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$

$-\frac{1}{\sqrt{2}} < sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 1$

$-\frac{\sqrt{2}}{2} < sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 1$

Решением этого неравенства является:

$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x + \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Вычитая $\frac{\pi}{4}$ из всех частей, находим $x$:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

в) $sin 2x - 3 sin x + 3 cos x - 3 < 0$

Преобразуем неравенство: $2 sin x cos x - 3(sin x - cos x) - 3 < 0$.

Сделаем замену $t = sin x - cos x$. Возведем в квадрат:

$t^2 = (sin x - cos x)^2 = sin^2 x - 2 sin x cos x + cos^2 x = 1 - 2 sin x cos x$

Отсюда $2 sin x cos x = 1 - t^2$.

Область значений $t = sin x - cos x = \sqrt{2}sin(x - \frac{\pi}{4})$ есть $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Подставим в неравенство:

$(1 - t^2) - 3t - 3 < 0$

$-t^2 - 3t - 2 < 0$

$t^2 + 3t + 2 > 0$

Корни уравнения $t^2 + 3t + 2 = 0$ равны $t_1 = -1$ и $t_2 = -2$.

Решением неравенства является $t < -2$ или $t > -1$.

Учитывая область значений $t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$, получаем: $-1 < t \le \sqrt{2}$.

Выполним обратную замену:

$-1 < sin x - cos x \le \sqrt{2}$

$-1 < \sqrt{2}sin(x - \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$

$-\frac{\sqrt{2}}{2} < sin(x - \frac{\pi}{4}) \le 1$

Решением этого неравенства является:

$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x - \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Прибавляя $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям, находим $x$:

$2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

г) $sin 2x + sin x - cos x + 1 > 0$

Преобразуем неравенство: $2 sin x cos x + (sin x - cos x) + 1 > 0$.

Сделаем замену $t = sin x - cos x$, где $t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. Тогда $2 sin x cos x = 1 - t^2$.

Подставим в неравенство:

$(1 - t^2) + t + 1 > 0$

$-t^2 + t + 2 > 0$

$t^2 - t - 2 < 0$

Корни уравнения $t^2 - t - 2 = 0$ равны $t_1 = -1$ и $t_2 = 2$.

Решением неравенства является интервал $-1 < t < 2$.

Учитывая область значений $t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$, получаем: $-1 < t \le \sqrt{2}$.

Выполним обратную замену:

$-1 < sin x - cos x \le \sqrt{2}$

$-1 < \sqrt{2}sin(x - \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$

$-\frac{\sqrt{2}}{2} < sin(x - \frac{\pi}{4}) \le 1$

Решением этого неравенства является:

$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x - \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Прибавляя $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям, находим $x$:

$2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.