Страница 330 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решите уравнение (11.56–11.58):

11.56 a) $2 \sin x \cos x + \sin x + \cos x = 1;$

б) $2 \sin x \cos x - \sin x - \cos x = 1;$

в) $2 \sin x \cos x + \sin x - \cos x = 3;$

г) $2 \sin x \cos x - \sin x + \cos x = -1.$

Исходное уравнение: $2 \sin x \cos x + \sin x + \cos x = 1$.

Данный тип уравнений решается с помощью введения новой переменной. Пусть $t = \sin x + \cos x$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат: $t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем: $t^2 = 1 + 2 \sin x \cos x$.

Отсюда выразим $2 \sin x \cos x = t^2 - 1$.

Подставим выражения для $t$ и $t^2-1$ в исходное уравнение:

$(t^2 - 1) + t = 1$

$t^2 + t - 2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его корни, например, по теореме Виета: $t_1 + t_2 = -1$, $t_1 \cdot t_2 = -2$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Теперь необходимо учесть область значений для $t = \sin x + \cos x$. Преобразуем это выражение: $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$.

Поскольку $-1 \le \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 1$, то область значений для $t$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Сравним найденные корни $t$ с этой областью значений:

$t_1 = 1$ принадлежит отрезку $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$, так как $-\sqrt{2} \approx -1.414$ и $\sqrt{2} \approx 1.414$.

$t_2 = -2$ не принадлежит этому отрезку, следовательно, это посторонний корень.

Возвращаемся к исходной переменной $x$ для $t=1$:

$\sin x + \cos x = 1$

$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет две серии решений:

1) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi k, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Исходное уравнение: $2 \sin x \cos x - \sin x - \cos x = 1$.

Перепишем его как $2 \sin x \cos x - (\sin x + \cos x) = 1$.

Сделаем ту же замену, что и в пункте а): $t = \sin x + \cos x$, откуда $2 \sin x \cos x = t^2 - 1$. Область значений для $t$ – $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Подставим в уравнение:

$(t^2 - 1) - t = 1$

$t^2 - t - 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Проверим корни на принадлежность области значений $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$:

$t_1 = 2$ не принадлежит отрезку (посторонний корень).

$t_2 = -1$ принадлежит отрезку.

Возвращаемся к переменной $x$ для $t = -1$:

$\sin x + \cos x = -1$

$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -1$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Получаем две серии решений:

1) $x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $x + \frac{\pi}{4} = \pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi k \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Исходное уравнение: $2 \sin x \cos x + \sin x - \cos x = 3$.

В этом уравнении присутствует разность $\sin x - \cos x$. Сделаем замену $u = \sin x - \cos x$.

Возведем в квадрат: $u^2 = (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 - 2 \sin x \cos x$.

Отсюда $2 \sin x \cos x = 1 - u^2$.

Подставим в исходное уравнение:

$(1 - u^2) + u = 3$

$-u^2 + u - 2 = 0$

$u^2 - u + 2 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7$.

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней для $u$. Следовательно, исходное уравнение также не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Исходное уравнение: $2 \sin x \cos x - \sin x + \cos x = -1$.

Перепишем его как $2 \sin x \cos x - (\sin x - \cos x) = -1$.

Используем замену из пункта в): $u = \sin x - \cos x$, откуда $2 \sin x \cos x = 1 - u^2$.

Область значений для $u = \sin x - \cos x = \sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4})$ также является отрезком $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Подставим в уравнение:

$(1 - u^2) - u = -1$

$-u^2 - u + 2 = 0$

$u^2 + u - 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $u_1 = 1$ и $u_2 = -2$.

Проверим корни на принадлежность области значений $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$:

$u_1 = 1$ принадлежит отрезку.

$u_2 = -2$ не принадлежит отрезку (посторонний корень).

Возвращаемся к переменной $x$ для $u = 1$:

$\sin x - \cos x = 1$

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = 1$

$\sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 1$

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Получаем две серии решений:

1) $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

11.57 a) $\sin 2x + 3 \sin x + 3 \cos x = \frac{3}{4}$;

б) $\sin 2x - 3 \sin x - 3 \cos x = \frac{3}{4}$;

в) $\sin 2x + 5 \sin x + 5 \cos x = 1\frac{3}{4}$;

г) $\sin 2x - 5 \sin x - 5 \cos x = -3\frac{1}{4}$.

а) Преобразуем уравнение, используя формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $ и вынося общий множитель за скобки:
$ 2 \sin x \cos x + 3(\sin x + \cos x) = \frac{3}{4} $.
Введем замену $ t = \sin x + \cos x $. Возведем обе части в квадрат: $ t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x $. Отсюда $ 2 \sin x \cos x = t^2 - 1 $.
Подставляем в уравнение:
$ (t^2 - 1) + 3t = \frac{3}{4} $
$ t^2 + 3t - \frac{7}{4} = 0 $
$ 4t^2 + 12t - 7 = 0 $
Решаем квадратное уравнение: $ D = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 144 + 112 = 256 = 16^2 $.
$ t_1 = \frac{-12 + 16}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $;
$ t_2 = \frac{-12 - 16}{8} = -\frac{28}{8} = -\frac{7}{2} $.
Область значений функции $ y = \sin x + \cos x $ есть отрезок $ [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] $.
Корень $ t_2 = -3.5 $ не входит в этот отрезок (так как $ -3.5 < -\sqrt{2} $), поэтому является посторонним.
Возвращаемся к замене с $ t_1 = \frac{1}{2} $:
$ \sin x + \cos x = \frac{1}{2} $.
Применяем метод вспомогательного угла: $ \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \frac{1}{2} \Rightarrow \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} $.
$ \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} $.
$ x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
$ x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{4} + (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) Преобразуем уравнение: $ 2 \sin x \cos x - 3(\sin x + \cos x) = \frac{3}{4} $.
Введем замену $ t = \sin x + \cos x $, тогда $ 2 \sin x \cos x = t^2 - 1 $.
Подставляем в уравнение:
$ (t^2 - 1) - 3t = \frac{3}{4} $
$ t^2 - 3t - \frac{7}{4} = 0 $
$ 4t^2 - 12t - 7 = 0 $
Решаем квадратное уравнение: $ D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 144 + 112 = 256 = 16^2 $.
$ t_1 = \frac{12 + 16}{8} = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} $;
$ t_2 = \frac{12 - 16}{8} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2} $.
Область значений $ t $ это $ [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] $. Корень $ t_1 = 3.5 $ является посторонним.
Возвращаемся к замене с $ t_2 = -\frac{1}{2} $:
$ \sin x + \cos x = -\frac{1}{2} $.
$ \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2} $.
$ \sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4} $.
$ x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Используя свойство $ \arcsin(-a) = -\arcsin(a) $, получаем:
$ x + \frac{\pi}{4} = -(-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
$ x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{4} + (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

в) Исходное уравнение: $ \sin 2x + 5 \sin x + 5 \cos x = 1\frac{3}{4} $.
Преобразуем правую часть: $ 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4} $.
$ 2 \sin x \cos x + 5(\sin x + \cos x) = \frac{7}{4} $.
Введем замену $ t = \sin x + \cos x $, тогда $ 2 \sin x \cos x = t^2 - 1 $.
$ (t^2 - 1) + 5t = \frac{7}{4} $
$ t^2 + 5t - \frac{11}{4} = 0 $
$ 4t^2 + 20t - 11 = 0 $
Решаем квадратное уравнение: $ D = 20^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-11) = 400 + 176 = 576 = 24^2 $.
$ t_1 = \frac{-20 + 24}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $;
$ t_2 = \frac{-20 - 24}{8} = -\frac{44}{8} = -\frac{11}{2} $.
Корень $ t_2 = -5.5 $ является посторонним, так как не входит в отрезок $ [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] $.
Возвращаемся к замене с $ t_1 = \frac{1}{2} $:
$ \sin x + \cos x = \frac{1}{2} $.
Это уравнение совпадает с уравнением из пункта а), поэтому решение будет таким же:
$ x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{4} + (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

г) Исходное уравнение: $ \sin 2x - 5 \sin x - 5 \cos x = -3\frac{1}{4} $.
Преобразуем правую часть: $ -3\frac{1}{4} = -\frac{13}{4} $.
$ 2 \sin x \cos x - 5(\sin x + \cos x) = -\frac{13}{4} $.
Введем замену $ t = \sin x + \cos x $, тогда $ 2 \sin x \cos x = t^2 - 1 $.
$ (t^2 - 1) - 5t = -\frac{13}{4} $
$ t^2 - 5t - 1 + \frac{13}{4} = 0 $
$ t^2 - 5t + \frac{9}{4} = 0 $
$ 4t^2 - 20t + 9 = 0 $
Решаем квадратное уравнение: $ D = (-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 400 - 144 = 256 = 16^2 $.
$ t_1 = \frac{20 + 16}{8} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} $;
$ t_2 = \frac{20 - 16}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $.
Корень $ t_1 = 4.5 $ является посторонним, так как не входит в отрезок $ [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] $.
Возвращаемся к замене с $ t_2 = \frac{1}{2} $:
$ \sin x + \cos x = \frac{1}{2} $.
Это уравнение также совпадает с уравнением из пункта а), поэтому решение будет таким же:
$ x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{4} + (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

11.58* a) $ \sin^3 x + \cos^3 x = \sin 2x + 1 $;
б) $ \sin^3 x - \cos^3 x = \sin 2x - 1 $.

a) $\sin^3 x + \cos^3 x = \sin 2x + 1$

Преобразуем левую и правую части уравнения.Левая часть раскладывается по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x)$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:
$(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x)$.
В правой части используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.
Уравнение принимает вид:
$(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) = 2 \sin x \cos x + 1$.
Для решения введем замену. Пусть $t = \sin x + \cos x$.
Возведем обе части этого равенства в квадрат: $t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x$.
Из этого равенства выразим произведение $\sin x \cos x$: $2 \sin x \cos x = t^2 - 1$, откуда $\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$.
Заметим, что $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$, следовательно, область значений для $t$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.
Подставим замену в уравнение:
$t \left(1 - \frac{t^2 - 1}{2}\right) = (t^2 - 1) + 1$
$t \left(\frac{2 - (t^2 - 1)}{2}\right) = t^2$
$t \left(\frac{3 - t^2}{2}\right) = t^2$
$3t - t^3 = 2t^2$
$t^3 + 2t^2 - 3t = 0$
Вынесем $t$ за скобки: $t(t^2 + 2t - 3) = 0$.
Разложим квадратный трехчлен на множители: $t(t+3)(t-1) = 0$.
Корни этого уравнения: $t_1 = 0$, $t_2 = -3$, $t_3 = 1$.
Сравним корни с областью допустимых значений $t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.
$t_1 = 0$ — подходит.
$t_2 = -3$ — не подходит, так как $-3 < -\sqrt{2}$.
$t_3 = 1$ — подходит.
Выполним обратную замену для подходящих значений $t$.

1. Если $t=1$, то $\sin x + \cos x = 1$.
Применим метод введения вспомогательного угла, разделив обе части на $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$:$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
Отсюда $x+\frac{\pi}{4} = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Для четных $k=2n$: $x+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Для нечетных $k=2n+1$: $x+\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi(2n+1) = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $t=0$, то $\sin x + \cos x = 0$.
$\sin x = -\cos x$. Так как $\cos x \neq 0$ (иначе $\sin x = \pm 1$, что не удовлетворяет уравнению), разделим на $\cos x$:
$\tan x = -1$
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n; -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin^3 x - \cos^3 x = \sin 2x - 1$

Преобразуем левую и правую части уравнения.Левая часть раскладывается по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$\sin^3 x - \cos^3 x = (\sin x - \cos x)(\sin^2 x + \sin x \cos x + \cos^2 x)$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:
$(\sin x - \cos x)(1 + \sin x \cos x)$.
В правой части используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.
Уравнение принимает вид:
$(\sin x - \cos x)(1 + \sin x \cos x) = 2 \sin x \cos x - 1$.
Для решения введем замену. Пусть $u = \sin x - \cos x$.
Возведем обе части этого равенства в квадрат: $u^2 = (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 - 2 \sin x \cos x$.
Из этого равенства выразим произведение $\sin x \cos x$: $2 \sin x \cos x = 1 - u^2$, откуда $\sin x \cos x = \frac{1 - u^2}{2}$.
Заметим, что $u = \sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$, следовательно, область значений для $u$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.
Подставим замену в уравнение:
$u \left(1 + \frac{1 - u^2}{2}\right) = (1 - u^2) - 1$
$u \left(\frac{2 + 1 - u^2}{2}\right) = -u^2$
$u \left(\frac{3 - u^2}{2}\right) = -u^2$
$3u - u^3 = -2u^2$
$u^3 - 2u^2 - 3u = 0$
Вынесем $u$ за скобки: $u(u^2 - 2u - 3) = 0$.
Разложим квадратный трехчлен на множители: $u(u-3)(u+1) = 0$.
Корни этого уравнения: $u_1 = 0$, $u_2 = 3$, $u_3 = -1$.
Сравним корни с областью допустимых значений $u \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.
$u_1 = 0$ — подходит.
$u_2 = 3$ — не подходит, так как $3 > \sqrt{2}$.
$u_3 = -1$ — подходит.
Выполним обратную замену для подходящих значений $u$.

1. Если $u=0$, то $\sin x - \cos x = 0$.
$\sin x = \cos x$. Так как $\cos x \neq 0$ (иначе $\sin x = \pm 1$, что не удовлетворяет уравнению), разделим на $\cos x$:
$\tan x = 1$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $u=-1$, то $\sin x - \cos x = -1$.
Применим метод введения вспомогательного угла, разделив обе части на $\sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$:$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \sin\frac{\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin(x-\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
Отсюда $x-\frac{\pi}{4} = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Для четных $k=2n$: $x-\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Для нечетных $k=2n+1$: $x-\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi(2n+1) = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n; 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

11.59* Решите неравенство:

а) $ \sin 2x - 3 \sin x - 3 \cos x + 3 < 0; $

б) $ \sin 2x - \sin x - \cos x - 1 < 0; $

в) $ \sin 2x - 3 \sin x + 3 \cos x - 3 < 0; $

г) $ \sin 2x + \sin x - \cos x + 1 > 0. $

а) $sin 2x - 3 sin x - 3 cos x + 3 < 0$

Преобразуем неравенство, вынеся общий множитель и используя формулу синуса двойного угла $sin 2x = 2 sin x cos x$:

$2 sin x cos x - 3(sin x + cos x) + 3 < 0$

Сделаем замену $t = sin x + cos x$. Возведем это выражение в квадрат, чтобы выразить $sin x cos x$:

$t^2 = (sin x + cos x)^2 = sin^2 x + 2 sin x cos x + cos^2 x = 1 + 2 sin x cos x$

Отсюда получаем $2 sin x cos x = t^2 - 1$.

Найдем область допустимых значений для $t$. Используем метод вспомогательного угла:

$t = sin x + cos x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}cos x) = \sqrt{2}(cos\frac{\pi}{4}sin x + sin\frac{\pi}{4}cos x) = \sqrt{2}sin(x + \frac{\pi}{4})$

Поскольку область значений синуса $[-1, 1]$, то область значений для $t$ есть $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Подставим выражение для $t$ в исходное неравенство:

$(t^2 - 1) - 3t + 3 < 0$

$t^2 - 3t + 2 < 0$

Решим квадратное уравнение $t^2 - 3t + 2 = 0$. Корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Так как ветви параболы $y = t^2 - 3t + 2$ направлены вверх, неравенство выполняется при $1 < t < 2$.

Учтем область допустимых значений $t$: $t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Получаем систему: $\begin{cases} 1 < t < 2 \\ -\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2} \end{cases}$.

Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, решением системы является $1 < t \le \sqrt{2}$.

Выполним обратную замену:

$1 < sin x + cos x \le \sqrt{2}$

$1 < \sqrt{2}sin(x + \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}} < sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 1$

$\frac{\sqrt{2}}{2} < sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 1$

Решая это тригонометрическое неравенство (например, с помощью единичной окружности), получаем:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x + \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Вычитая $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства, находим $x$:

$2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

б) $sin 2x - sin x - cos x - 1 < 0$

Преобразуем неравенство: $2 sin x cos x - (sin x + cos x) - 1 < 0$.

Сделаем замену $t = sin x + cos x$, где $t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. Как и в предыдущем пункте, $2 sin x cos x = t^2 - 1$.

Подставим в неравенство:

$(t^2 - 1) - t - 1 < 0$

$t^2 - t - 2 < 0$

Корни уравнения $t^2 - t - 2 = 0$ равны $t_1 = -1$ и $t_2 = 2$.

Решением неравенства является интервал $-1 < t < 2$.

Учитывая область значений $t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$, получаем: $-1 < t \le \sqrt{2}$.

Выполним обратную замену:

$-1 < sin x + cos x \le \sqrt{2}$

$-1 < \sqrt{2}sin(x + \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$

$-\frac{1}{\sqrt{2}} < sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 1$

$-\frac{\sqrt{2}}{2} < sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 1$

Решением этого неравенства является:

$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x + \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Вычитая $\frac{\pi}{4}$ из всех частей, находим $x$:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

в) $sin 2x - 3 sin x + 3 cos x - 3 < 0$

Преобразуем неравенство: $2 sin x cos x - 3(sin x - cos x) - 3 < 0$.

Сделаем замену $t = sin x - cos x$. Возведем в квадрат:

$t^2 = (sin x - cos x)^2 = sin^2 x - 2 sin x cos x + cos^2 x = 1 - 2 sin x cos x$

Отсюда $2 sin x cos x = 1 - t^2$.

Область значений $t = sin x - cos x = \sqrt{2}sin(x - \frac{\pi}{4})$ есть $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Подставим в неравенство:

$(1 - t^2) - 3t - 3 < 0$

$-t^2 - 3t - 2 < 0$

$t^2 + 3t + 2 > 0$

Корни уравнения $t^2 + 3t + 2 = 0$ равны $t_1 = -1$ и $t_2 = -2$.

Решением неравенства является $t < -2$ или $t > -1$.

Учитывая область значений $t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$, получаем: $-1 < t \le \sqrt{2}$.

Выполним обратную замену:

$-1 < sin x - cos x \le \sqrt{2}$

$-1 < \sqrt{2}sin(x - \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$

$-\frac{\sqrt{2}}{2} < sin(x - \frac{\pi}{4}) \le 1$

Решением этого неравенства является:

$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x - \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Прибавляя $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям, находим $x$:

$2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

г) $sin 2x + sin x - cos x + 1 > 0$

Преобразуем неравенство: $2 sin x cos x + (sin x - cos x) + 1 > 0$.

Сделаем замену $t = sin x - cos x$, где $t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. Тогда $2 sin x cos x = 1 - t^2$.

Подставим в неравенство:

$(1 - t^2) + t + 1 > 0$

$-t^2 + t + 2 > 0$

$t^2 - t - 2 < 0$

Корни уравнения $t^2 - t - 2 = 0$ равны $t_1 = -1$ и $t_2 = 2$.

Решением неравенства является интервал $-1 < t < 2$.

Учитывая область значений $t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$, получаем: $-1 < t \le \sqrt{2}$.

Выполним обратную замену:

$-1 < sin x - cos x \le \sqrt{2}$

$-1 < \sqrt{2}sin(x - \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$

$-\frac{\sqrt{2}}{2} < sin(x - \frac{\pi}{4}) \le 1$

Решением этого неравенства является:

$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x - \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Прибавляя $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям, находим $x$:

$2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.