Страница 329 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.55 В каком случае при решении тригонометрических уравнений и неравенств удобно применять замену неизвестного:

а) $ \sin x + \cos x = t; $

б) $ \sin x - \cos x = t? $

Выразите $ \sin x \cos x $ через $ t $ в случаях а) и б).

Замену неизвестного вида $ \sin x \pm \cos x = t $ удобно применять при решении так называемых симметрических тригонометрических уравнений и неравенств. Это такие уравнения и неравенства, которые содержат одновременно и сумму (или разность) $ \sin x $ и $ \cos x $, и их произведение $ \sin x \cos x $. Суть метода заключается в том, что произведение $ \sin x \cos x $ можно выразить через квадрат суммы или разности $ \sin x $ и $ \cos x $, что позволяет свести исходное тригонометрическое уравнение или неравенство к алгебраическому относительно новой переменной $ t $.

а) Рассмотрим замену $ \sin x + \cos x = t $. Чтобы выразить $ \sin x \cos x $ через $ t $, возведем обе части этого равенства в квадрат:
$ (\sin x + \cos x)^2 = t^2 $
Раскроем скобки по формуле квадрата суммы:
$ \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = t^2 $
Сгруппируем слагаемые и используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $:
$ (\sin^2 x + \cos^2 x) + 2 \sin x \cos x = t^2 $
$ 1 + 2 \sin x \cos x = t^2 $
Теперь выразим произведение $ \sin x \cos x $:
$ 2 \sin x \cos x = t^2 - 1 $
$ \sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2} $
Ответ: $ \sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2} $.

б) Рассмотрим замену $ \sin x - \cos x = t $. Аналогично предыдущему пункту, возведем обе части этого равенства в квадрат:
$ (\sin x - \cos x)^2 = t^2 $
Раскроем скобки по формуле квадрата разности:
$ \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = t^2 $
Сгруппируем слагаемые и используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $:
$ (\sin^2 x + \cos^2 x) - 2 \sin x \cos x = t^2 $
$ 1 - 2 \sin x \cos x = t^2 $
Теперь выразим произведение $ \sin x \cos x $:
$ -2 \sin x \cos x = t^2 - 1 $
Умножим обе части на -1:
$ 2 \sin x \cos x = 1 - t^2 $
$ \sin x \cos x = \frac{1 - t^2}{2} $
Ответ: $ \sin x \cos x = \frac{1 - t^2}{2} $.