Страница 336 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

12.1 На примере опыта с бросанием монеты объясните, что означает: выпадение герба и решки — события равновозможные; единственно возможные.

Рассмотрим опыт с бросанием идеальной, симметричной монеты, у которой есть две стороны: герб и решка.

выпадание герба и решки — события равновозможные

События называются равновозможными, если нет никаких объективных причин считать, что одно из них может происходить чаще другого. В случае с идеальной монетой, она имеет симметричную форму и однородную плотность. Это означает, что при её бросании ни у одной из сторон нет физического преимущества перед другой. Поэтому шансы выпадения герба точно такие же, как и шансы выпадения решки. Вероятность каждого из этих событий одинакова и равна $1/2$.
Ответ: События выпадения герба и решки являются равновозможными, потому что из-за симметрии монеты и случайности броска у каждого из этих исходов одинаковый шанс на осуществление.

единственно возможные

События называются единственно возможными (или образующими полную группу событий), если в результате опыта обязательно произойдет одно из них, и никакое другое событие произойти не может. При бросании монеты мы рассматриваем только два исхода: выпал «герб» или выпала «решка». Мы сознательно исключаем из рассмотрения крайне маловероятные или невозможные в обычных условиях исходы, такие как падение монеты на ребро, её зависание в воздухе или исчезновение. Таким образом, в рамках данного опыта множество всех возможных результатов состоит только из этих двух событий. Сумма их вероятностей равна 1: $P(герб) + P(решка) = 1/2 + 1/2 = 1$.
Ответ: События выпадения герба и решки являются единственно возможными, так как в результате опыта обязательно произойдет одно из этих двух событий и никакое другое произойти не может (в рамках принятых допущений).

12.2 Бросают игральную кость. Являются ли события $A$ — «выпадание шести очков» и $B$ — «выпадание чётного числа очков» равновозможными, единственно возможными?

Для решения задачи проанализируем условия. При бросании стандартной игральной кости возможно 6 равновероятных исходов: выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков.

Событие A — «выпадение шести очков». Этому событию благоприятствует только один исход: {6}.

Событие B — «выпадение чётного числа очков». Этому событию благоприятствуют три исхода: {2, 4, 6}.

События считаются равновозможными, если их вероятности равны. Найдем вероятности событий A и B.

Вероятность события вычисляется по формуле классической вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятствующих исходов, а $n$ — общее число всех равновозможных исходов.

В нашем случае общее число исходов $n = 6$.

Для события A число благоприятствующих исходов $m_A = 1$. Его вероятность: $P(A) = \frac{1}{6}$

Для события B число благоприятствующих исходов $m_B = 3$. Его вероятность: $P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Поскольку $P(A) \ne P(B)$ $(\frac{1}{6} \ne \frac{1}{2})$, события A и B не являются равновозможными.

Ответ: Нет, события A и B не являются равновозможными.

События являются единственно возможными, если в результате испытания не может произойти никакой другой исход, кроме тех, что входят в эти события. Другими словами, их объединение должно охватывать все пространство элементарных исходов.

В данном эксперименте существуют исходы, которые не входят ни в событие A, ни в событие B. Например, событие C — «выпадение нечётного числа очков», которому соответствуют исходы {1, 3, 5}. Так как при броске кости может выпасть 1, 3 или 5, что не является ни выпадением шести очков, ни выпадением четного числа очков (в которое шестерка уже входит), то события A и B не являются единственно возможными.

Ответ: Нет, события A и B не являются единственно возможными.

12.3 В ящике лежат три шара, отличающиеся только цветом: белый, чёрный, красный. Из ящика наудачу вынимают один шар. Возможны три события: $A$ — «вынут белый шар»,

$B$ — «вынут чёрный шар», $C$ — «вынут красный шар». Являются ли события $A, B, C$:

a) равновозможными;

b) единственно возможными?

В задаче рассматривается эксперимент с извлечением одного шара из ящика, в котором находятся три шара разных цветов: белый, чёрный и красный. Определены три события:

• Событие A: «вынут белый шар»
• Событие B: «вынут чёрный шар»
• Событие C: «вынут красный шар»

Необходимо проанализировать эти события.

а) равновозможными;
События называются равновозможными, если шансы их наступления одинаковы. В данном случае в ящике находится по одному шару каждого цвета (один белый, один чёрный, один красный). Так как шары отличаются только цветом и вынимаются наудачу, вероятность извлечь любой из них одинакова.
Всего в ящике $n=3$ шара.
Вероятность события A (вынуть белый шар) равна $P(A) = \frac{1}{3}$.
Вероятность события B (вынуть чёрный шар) равна $P(B) = \frac{1}{3}$.
Вероятность события C (вынуть красный шар) равна $P(C) = \frac{1}{3}$.
Поскольку $P(A) = P(B) = P(C)$, события A, B и C являются равновозможными.
Ответ: да, являются.

б) единственно возможными?
События являются единственно возможными, если в результате эксперимента обязательно произойдёт одно из них и никакое другое событие произойти не может.
В ящике лежат только три шара: белый, чёрный и красный. Когда мы вынимаем один шар, он обязательно будет либо белым (событие A), либо чёрным (событие B), либо красным (событие C). Никакой другой исход, например, вынуть синий шар, невозможен, так как шаров других цветов в ящике нет.
Следовательно, события A, B и C образуют полную группу событий, то есть они являются единственно возможными исходами данного эксперимента. Сумма их вероятностей равна 1:
$P(A) + P(B) + P(C) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1$.
Ответ: да, являются.