Страница 338 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

12.14 Один игрок записал четырёхзначное число, используя различные цифры, кроме 0. Какова вероятность того, что второй игрок угадает это число с первого раза?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Сначала определим общее число возможных исходов $N$. По условию, первый игрок записал четырёхзначное число, используя различные цифры, кроме 0. Это значит, что для составления числа используются цифры из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Всего 9 различных цифр.

Нам нужно найти, сколько всего различных четырёхзначных чисел можно составить из этих 9 цифр. Поскольку все цифры в числе должны быть различны и их порядок важен, мы имеем дело с размещениями без повторений. Число размещений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае $n=9$ (количество доступных цифр) и $k=4$ (количество позиций в числе). Подставим значения в формулу:

$N = A_9^4 = \frac{9!}{(9-4)!} = \frac{9!}{5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6$

Вычислим произведение:

$N = 72 \times 42 = 3024$

Таким образом, существует 3024 различных четырёхзначных числа, которые мог записать первый игрок. Это и есть общее число равновозможных исходов.

Теперь определим число благоприятных исходов $m$. Благоприятный исход — это угадывание загаданного числа с первой попытки. Поскольку первый игрок записал только одно конкретное число, то существует лишь один правильный вариант. Следовательно, число благоприятных исходов $m = 1$.

Вероятность $P$ того, что второй игрок угадает число с первого раза, равна:

$P = \frac{m}{N} = \frac{1}{3024}$

Ответ: $\frac{1}{3024}$

12.15 В ящике лежат 20 шаров, отличающихся только цветом:

7 белых и 13 чёрных. Из ящика наудачу вынимают один шар. Какова вероятность события:

а) A — «вынут белый шар»;

б) B — «вынут чёрный шар»;

в) C — «вынут красный шар»;

г) D — «вынут белый или чёрный шар»?

Для решения этой задачи используется классическое определение вероятности. Вероятность события $P(E)$ вычисляется по формуле: $P(E) = \frac{m}{n}$, где $n$ — это общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $E$.

В ящике находится 7 белых и 13 чёрных шаров. Общее число шаров в ящике, а следовательно, и общее число возможных исходов при вынимании одного шара, равно: $n = 7 + 13 = 20$.

а) A — «вынут белый шар»
Количество белых шаров в ящике — это число благоприятствующих исходов для события A. Таким образом, $m_A = 7$.
Вероятность вынуть белый шар равна: $P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{7}{20} = 0,35$.
Ответ: $0,35$

б) B — «вынут чёрный шар»
Количество чёрных шаров в ящике — это число благоприятствующих исходов для события B. Таким образом, $m_B = 13$.
Вероятность вынуть чёрный шар равна: $P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{13}{20} = 0,65$.
Ответ: $0,65$

в) C — «вынут красный шар»
В ящике нет красных шаров. Это означает, что число исходов, благоприятствующих событию C, равно нулю: $m_C = 0$.
Такое событие называется невозможным, и его вероятность равна: $P(C) = \frac{m_C}{n} = \frac{0}{20} = 0$.
Ответ: $0$

г) D — «вынут белый или чёрный шар»
Это событие произойдет, если будет вынут любой из имеющихся в ящике шаров, так как все они либо белые, либо чёрные. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно общему числу шаров: $m_D = 7 + 13 = 20$.
Такое событие называется достоверным, и его вероятность равна: $P(D) = \frac{m_D}{n} = \frac{20}{20} = 1$.
Другой способ решения — сложить вероятности несовместных событий A (вынут белый шар) и B (вынут чёрный шар): $P(D) = P(A) + P(B) = 0,35 + 0,65 = 1$.
Ответ: $1$

12.16 В ящике лежат 6 белых и 8 чёрных шаров — из них 2 белых и 3 чёрных шара помечены звёздочками. Из ящика наудачу вынимают один шар. Какова вероятность того, что будет вынут белый шар со звёздочкой?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события ($P$) равна отношению числа благоприятных исходов ($m$) к общему числу всех равновозможных исходов ($n$).

Формула для расчёта вероятности: $P = \frac{m}{n}$

1. Определим общее число равновозможных исходов ($n$). В ящике лежат 6 белых и 8 чёрных шаров. Общее количество шаров в ящике: $n = 6 + 8 = 14$ Таким образом, общее число исходов (количество всех шаров, которые можно вынуть) равно 14.

2. Определим число благоприятных исходов ($m$). Нас интересует событие "вынут белый шар со звёздочкой". По условию задачи, в ящике находится 2 белых шара, помеченных звёздочками. Следовательно, число исходов, благоприятствующих этому событию, равно: $m = 2$ Информация о 3 чёрных шарах со звёздочками является избыточной для решения данной задачи.

3. Рассчитаем вероятность. Подставим найденные значения $m$ и $n$ в формулу вероятности: $P = \frac{m}{n} = \frac{2}{14}$

Сократим полученную дробь: $P = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$

12.17 Четыре футбольные команды $K_1, K_2, K_3, K_4$ вышли в полуфинал мирового первенства. Специалисты считают, что их силы примерно равны. Какова вероятность события:

а) A — «команды $K_1$ и $K_2$ выйдут в финал»;

б) B — «команда $K_1$ получит «золото», а команда $K_2$ получит «серебро»;

в) C — «команды заняли места с первого по четвёртое в указанном порядке: $K_4, K_1, K_3, K_2$»?

Поскольку силы команд примерно равны, все возможные исходы распределения мест с первого по четвертое являются равновероятными. Общее число таких исходов равно числу перестановок из четырех команд. Найдем общее число элементарных исходов $n$ по формуле перестановок:
$n = P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

а) A — «команды K₁ и K₂ выйдут в финал»
Это событие означает, что команды $K_1$ и $K_2$ займут первое и второе места в любом порядке. Оставшиеся две команды, $K_3$ и $K_4$, займут третье и четвертое места, также в любом порядке.
Число способов, которыми $K_1$ и $K_2$ могут занять первые два места, равно числу перестановок из двух элементов: $P_2 = 2! = 2$.
Число способов, которыми $K_3$ и $K_4$ могут занять оставшиеся два места, также равно $P_2 = 2! = 2$.
Число благоприятных исходов $m_A$ равно произведению этих возможностей: $m_A = 2! \times 2! = 2 \times 2 = 4$.
Вероятность события A вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
$P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$

б) B — «команда K₁ получит «золото», а команда K₂ получит «серебро»
Это событие означает, что первое место строго определено за командой $K_1$, а второе — за командой $K_2$. Оставшиеся команды $K_3$ и $K_4$ могут распределить между собой третье и четвертое места.
Число способов, которыми $K_3$ и $K_4$ могут занять 3-е и 4-е места, равно числу перестановок из двух элементов: $P_2 = 2! = 2$.
Таким образом, число благоприятных исходов $m_B = 1 \times 1 \times 2! = 2$. (Это исходы: $K_1, K_2, K_3, K_4$ и $K_1, K_2, K_4, K_3$).
Вероятность события B:
$P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$

в) C — «команды заняли места с первого по четвёртое в указанном порядке: K₄, K₁, K₃, K₂»
Это событие описывает один конкретный исход из всех возможных. Порядок мест для всех четырех команд строго зафиксирован.
Следовательно, число благоприятных исходов $m_C = 1$.
Вероятность события C:
$P(C) = \frac{m_C}{n} = \frac{1}{24}$.
Ответ: $\frac{1}{24}$