Номер 12.17, страница 338 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

12.1. Понятие вероятности события. § 12. Вероятность события. Глава III. Элементы теории вероятностей - номер 12.17, страница 338.

12.17 Четыре футбольные команды $K_1, K_2, K_3, K_4$ вышли в полуфинал мирового первенства. Специалисты считают, что их силы примерно равны. Какова вероятность события:

а) A — «команды $K_1$ и $K_2$ выйдут в финал»;

б) B — «команда $K_1$ получит «золото», а команда $K_2$ получит «серебро»;

в) C — «команды заняли места с первого по четвёртое в указанном порядке: $K_4, K_1, K_3, K_2$»?

Поскольку силы команд примерно равны, все возможные исходы распределения мест с первого по четвертое являются равновероятными. Общее число таких исходов равно числу перестановок из четырех команд. Найдем общее число элементарных исходов $n$ по формуле перестановок:
$n = P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

а) A — «команды K₁ и K₂ выйдут в финал»
Это событие означает, что команды $K_1$ и $K_2$ займут первое и второе места в любом порядке. Оставшиеся две команды, $K_3$ и $K_4$, займут третье и четвертое места, также в любом порядке.
Число способов, которыми $K_1$ и $K_2$ могут занять первые два места, равно числу перестановок из двух элементов: $P_2 = 2! = 2$.
Число способов, которыми $K_3$ и $K_4$ могут занять оставшиеся два места, также равно $P_2 = 2! = 2$.
Число благоприятных исходов $m_A$ равно произведению этих возможностей: $m_A = 2! \times 2! = 2 \times 2 = 4$.
Вероятность события A вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
$P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$

б) B — «команда K₁ получит «золото», а команда K₂ получит «серебро»
Это событие означает, что первое место строго определено за командой $K_1$, а второе — за командой $K_2$. Оставшиеся команды $K_3$ и $K_4$ могут распределить между собой третье и четвертое места.
Число способов, которыми $K_3$ и $K_4$ могут занять 3-е и 4-е места, равно числу перестановок из двух элементов: $P_2 = 2! = 2$.
Таким образом, число благоприятных исходов $m_B = 1 \times 1 \times 2! = 2$. (Это исходы: $K_1, K_2, K_3, K_4$ и $K_1, K_2, K_4, K_3$).
Вероятность события B:
$P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$

в) C — «команды заняли места с первого по четвёртое в указанном порядке: K₄, K₁, K₃, K₂»
Это событие описывает один конкретный исход из всех возможных. Порядок мест для всех четырех команд строго зафиксирован.
Следовательно, число благоприятных исходов $m_C = 1$.
Вероятность события C:
$P(C) = \frac{m_C}{n} = \frac{1}{24}$.
Ответ: $\frac{1}{24}$