Номер 12.12, страница 337 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

12.1. Понятие вероятности события. § 12. Вероятность события. Глава III. Элементы теории вероятностей - номер 12.12, страница 337.

12.12 Используя некоторые из пяти цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторения, записали четырёхзначное число. Какова вероятность того, что вы угадаете это число с первого раза?

Для решения этой задачи необходимо определить вероятность события, которая вычисляется по классической формуле вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — это общее число всех возможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Событие A в данном случае — это угадывание загаданного четырёхзначного числа с первой попытки.

Сначала найдём общее число возможных исходов $n$. Нам нужно определить, сколько всего различных четырёхзначных чисел можно составить из пяти цифр {1, 2, 3, 4, 5} без повторения. Поскольку порядок цифр в числе важен (например, 1234 и 4321 — разные числа), мы имеем дело с размещениями.

Число размещений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

В нашем случае общее количество цифр $n=5$, а количество позиций в числе $k=4$.

Вычисляем общее число возможных четырёхзначных чисел: $n = A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

Таким образом, существует 120 уникальных четырёхзначных чисел, которые можно составить из данных цифр без повторения.

Число благоприятствующих исходов $m$ равно 1, так как загадано только одно конкретное число, и именно его нужно угадать.

Теперь мы можем рассчитать вероятность угадать это число с первого раза: $P(A) = \frac{m}{n} = \frac{1}{120}$.

Ответ: $\frac{1}{120}$