Номер 12.14, страница 338 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

12.1. Понятие вероятности события. § 12. Вероятность события. Глава III. Элементы теории вероятностей - номер 12.14, страница 338.

12.14 Один игрок записал четырёхзначное число, используя различные цифры, кроме 0. Какова вероятность того, что второй игрок угадает это число с первого раза?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Сначала определим общее число возможных исходов $N$. По условию, первый игрок записал четырёхзначное число, используя различные цифры, кроме 0. Это значит, что для составления числа используются цифры из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Всего 9 различных цифр.

Нам нужно найти, сколько всего различных четырёхзначных чисел можно составить из этих 9 цифр. Поскольку все цифры в числе должны быть различны и их порядок важен, мы имеем дело с размещениями без повторений. Число размещений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае $n=9$ (количество доступных цифр) и $k=4$ (количество позиций в числе). Подставим значения в формулу:

$N = A_9^4 = \frac{9!}{(9-4)!} = \frac{9!}{5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6$

Вычислим произведение:

$N = 72 \times 42 = 3024$

Таким образом, существует 3024 различных четырёхзначных числа, которые мог записать первый игрок. Это и есть общее число равновозможных исходов.

Теперь определим число благоприятных исходов $m$. Благоприятный исход — это угадывание загаданного числа с первой попытки. Поскольку первый игрок записал только одно конкретное число, то существует лишь один правильный вариант. Следовательно, число благоприятных исходов $m = 1$.

Вероятность $P$ того, что второй игрок угадает число с первого раза, равна:

$P = \frac{m}{N} = \frac{1}{3024}$

Ответ: $\frac{1}{3024}$