Страница 337 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

12.4 Бросают две монеты. Рассмотрим два события: $A$ — «выпали два герба»; $B$ — «выпала решка» (хотя бы на одной монете). Являются ли события $A$ и $B$:

а) равновозможными;

б) несовместными?

Для решения задачи сначала определим пространство элементарных исходов при бросании двух монет. Обозначим выпадение герба буквой «Г», а выпадение решки — буквой «Р». Тогда возможны следующие четыре равновероятных исхода:

• ГГ (на обеих монетах выпал герб)
• ГР (на первой — герб, на второй — решка)
• РГ (на первой — решка, на второй — герб)
• РР (на обеих монетах выпала решка)

Событие A — «выпали два герба». Этому событию соответствует один исход: ГГ.

Событие B — «выпала решка (хотя бы на одной монете)». Этому событию соответствуют три исхода: ГР, РГ, РР.

а) равновозможными

Равновозможными называются события, имеющие одинаковую вероятность наступления. Найдем вероятности событий A и B по формуле классической вероятности $P = m/n$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число всех равновозможных исходов. В нашем случае общее число исходов $n=4$.

Для события A число благоприятных исходов $m_A = 1$ (исход ГГ). Его вероятность равна $P(A) = 1/4$.

Для события B число благоприятных исходов $m_B = 3$ (исходы ГР, РГ, РР). Его вероятность равна $P(B) = 3/4$.

Поскольку $P(A) \ne P(B)$ ($1/4 \ne 3/4$), события A и B не являются равновозможными.

Ответ: нет, события не являются равновозможными.

б) несовместными

Несовместными называются события, которые не могут произойти одновременно в одном и том же испытании. Это означает, что у них нет общих элементарных исходов.

Множество исходов, благоприятствующих событию A, — {ГГ}. Множество исходов, благоприятствующих событию B, — {ГР, РГ, РР}.

Пересечение этих двух множеств исходов пусто, так как у них нет общих элементов. Если наступило событие A (выпали два герба), то это исключает наступление события B (выпала хотя бы одна решка), и наоборот. Следовательно, события A и B являются несовместными.

Ответ: да, события являются несовместными.

12.5 а) Какое событие называют невозможным? Как обозначают невозможное событие? Какова его вероятность?

б) Какое событие называют достоверным? Как обозначают достоверное событие? Какова его вероятность?

a) Невозможным событием называют событие, которое в результате данного испытания (эксперимента) не может произойти ни при каких условиях. Это событие, которое не соответствует ни одному из возможных исходов опыта. Например, при подбрасывании стандартного шестигранного игрального кубика событие «выпало 7 очков» является невозможным.

В теории вероятностей невозможное событие обозначается как пустое множество, символом $\emptyset$.

Вероятность невозможного события всегда равна нулю. Если $A$ — невозможное событие, то его вероятность $P(A)$ равна 0, что записывается как $P(\emptyset) = 0$.

Ответ: Невозможным называют событие, которое не может произойти в данном опыте; его обозначают символом $\emptyset$; его вероятность равна 0.

б) Достоверным событием называют событие, которое в результате данного испытания (эксперимента) обязательно произойдет. Это событие, которое включает в себя все без исключения возможные исходы опыта. Например, при подбрасывании стандартного шестигранного игрального кубика событие «выпало число очков, меньшее 7» является достоверным.

В теории вероятностей достоверное событие соответствует всему пространству элементарных исходов и обозначается символом $\Omega$ (омега).

Вероятность достоверного события всегда равна единице. Если $B$ — достоверное событие, то его вероятность $P(B)$ равна 1, что записывается как $P(\Omega) = 1$.

Ответ: Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет в данном опыте; его обозначают символом $\Omega$; его вероятность равна 1.

12.6 Укажите невозможное и достоверное события среди событий, которые могут произойти при подбрасывании двух игральных кубиков: $A$ — «выпали две шестёрки»; $B$ — «выпало 1 очко»; $C$ — «выпало любое число очков от двух до двенадцати».

Для того чтобы определить, какое из событий является невозможным, а какое — достоверным, необходимо проанализировать каждое из них в контексте броска двух игральных кубиков.

A — «выпали две шестёрки»

Это событие может произойти, если на обоих кубиках выпадет число 6. Вероятность такого исхода можно рассчитать. Для одного кубика вероятность выпадения шестёрки равна $\frac{1}{6}$. Для двух кубиков вероятность одновременного выпадения двух шестёрок равна $P(A) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$. Поскольку вероятность события больше нуля ($P(A) > 0$) и меньше единицы ($P(A) < 1$), это событие является случайным, но не невозможным и не достоверным.

B — «выпало 1 очко»

На стандартном игральном кубике нанесены числа от 1 до 6. Минимальное количество очков, которое можно получить при броске одного кубика, — это 1. При броске двух кубиков минимальная возможная сумма очков — это сумма минимальных значений на каждом кубике, то есть $1 + 1 = 2$. Получить в сумме 1 очко при броске двух кубиков невозможно. Вероятность такого события равна нулю, $P(B) = 0$. Следовательно, это невозможное событие.

C — «выпало любое число очков от двух до двенадцати»

Рассмотрим диапазон возможных сумм очков при броске двух кубиков. Минимальная сумма, как мы выяснили, равна $1 + 1 = 2$. Максимальная сумма очков достигается, когда на обоих кубиках выпадают шестёрки: $6 + 6 = 12$. Любой результат броска двух кубиков даст в сумме целое число в диапазоне от 2 до 12 включительно. Это означает, что данное событие произойдёт со стопроцентной вероятностью при любом исходе броска. Вероятность этого события равна единице, $P(C) = 1$. Следовательно, это достоверное событие.

Ответ: Невозможное событие — B («выпало 1 очко»). Достоверное событие — C («выпало любое число очков от двух до двенадцати»).

12.7 a) Что называют вероятностью события?

б) Определите вероятность каждого из событий в заданиях 12.2–12.4, 12.6.

a) Что называют вероятностью события?

Вероятностью случайного события называют численную меру возможности его наступления. В классической теории вероятностей, применимой к ситуациям с конечным числом равновозможных исходов, вероятность события A определяется как отношение числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу всех равновозможных исходов.

Формула для вычисления вероятности события A выглядит следующим образом: $$P(A) = \frac{m}{n}$$ где $P(A)$ – вероятность события A; $m$ – число элементарных исходов, благоприятствующих событию A (благоприятные исходы); $n$ – общее число всех равновозможных элементарных исходов эксперимента (размер пространства элементарных исходов).

Основные свойства вероятности:
1. Вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающее единицу: $0 \le P(A) \le 1$.
2. Вероятность невозможного события (которое не может произойти ни при каком исходе эксперимента) равна нулю.
3. Вероятность достоверного события (которое обязательно произойдет в результате эксперимента) равна единице.

Например, при броске идеальной игральной кости (кубика) всего 6 равновозможных исходов (выпадение чисел от 1 до 6). Событие A – "выпало четное число". Благоприятствующими этому событию являются исходы: 2, 4, 6. То есть, $m = 3$. Общее число исходов $n = 6$. Тогда вероятность события A равна: $$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5$$

Ответ: Вероятностью события является отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

б) Определите вероятность каждого из событий в заданиях 12.2–12.4, 12.6.

Поскольку условия задач 12.2, 12.3, 12.4 и 12.6 не предоставлены, невозможно дать точное решение. Однако, мы можем продемонстрировать метод решения на гипотетических примерах, которые могли бы соответствовать этим номерам. Для решения каждой задачи необходимо использовать формулу классической вероятности $P(A) = \frac{m}{n}$, описанную в пункте а).

Решение для гипотетической задачи 12.2:

Условие: В лотерее 50 билетов, из которых 8 выигрышных. Какова вероятность того, что купленный наугад один билет окажется выигрышным?
Решение:
Событие A – "купленный билет является выигрышным".
Общее число равновозможных исходов $n$ – это общее количество билетов, то есть $n=50$.
Число исходов, благоприятствующих событию A, $m$ – это количество выигрышных билетов, то есть $m=8$.
Вероятность события A вычисляется по формуле: $$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{8}{50} = \frac{4}{25} = 0.16$$

Ответ: Вероятность купить выигрышный билет равна 0.16.

Решение для гипотетической задачи 12.3:

Условие: На тарелке лежат 5 пирожков с мясом, 10 с капустой и 3 с вишней. Наугад выбирают один пирожок. Какова вероятность, что он окажется с вишней?
Решение:
Событие A – "выбранный пирожок с вишней".
Найдем общее число равновозможных исходов $n$. Это общее количество пирожков: $n = 5 + 10 + 3 = 18$.
Число исходов, благоприятствующих событию A, $m$ – это количество пирожков с вишней, то есть $m=3$.
Вероятность события A: $$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$$

Ответ: Вероятность выбрать пирожок с вишней равна $\frac{1}{6}$.

Решение для гипотетической задачи 12.4:

Условие: Из класса, в котором учатся 12 мальчиков и 18 девочек, случайным образом выбирают одного дежурного. Какова вероятность, что это будет мальчик?
Решение:
Событие A – "дежурным выбрали мальчика".
Общее число учеников в классе $n = 12 + 18 = 30$. Это общее число равновозможных исходов.
Число мальчиков в классе $m = 12$. Это число благоприятствующих исходов.
Вероятность события A: $$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} = 0.4$$

Ответ: Вероятность, что дежурным будет мальчик, равна 0.4.

Решение для гипотетической задачи 12.6:

Условие: В коробке лежат 6 синих, 9 красных и 5 зеленых ручек. Наугад вынимают одну ручку. Какова вероятность, что она не будет красной?
Решение:
Событие A – "вынутая ручка не красная". Это означает, что она либо синяя, либо зеленая.
Найдем общее число ручек в коробке $n$: $n = 6 + 9 + 5 = 20$.
Найдем число благоприятствующих исходов $m$. Это количество не красных ручек: $m = 6 \; (\text{синих}) + 5 \; (\text{зеленых}) = 11$.
Вероятность события A: $$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{11}{20} = 0.55$$ Альтернативный способ: Можно найти вероятность противоположного события B – "вынутая ручка красная". $$P(B) = \frac{9}{20}$$ Тогда вероятность события A будет $P(A) = 1 - P(B) = 1 - \frac{9}{20} = \frac{11}{20} = 0.55$.

Ответ: Вероятность вынуть не красную ручку равна 0.55.

12.8 При игре в лото используются фишки с номерами от 1 до 90.

Наудачу вынимается одна фишка. Какова вероятность события:

а) $A$ — «номер вынутой фишки делится на 10»;

б) $B$ — «номер вынутой фишки делится и на 5, и на 9»;

в) $C$ — «номер вынутой фишки меньше 100»;

г) $D$ — «номер вынутой фишки 77»?

Для решения задачи используется классическое определение вероятности. Вероятность события $P$ вычисляется по формуле $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

В данной задаче общее число исходов $n$ равно количеству фишек в лото, то есть $n=90$.

а) A — «номер вынутой фишки делится на 10»

Найдем число благоприятствующих исходов $m$. Это количество чисел от 1 до 90, которые делятся на 10. Такими числами являются: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Всего таких чисел 9, следовательно, $m = 9$. Вероятность события A равна: $P(A) = \frac{m}{n} = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}$.
Ответ: $\frac{1}{10}$.

б) B — «номер вынутой фишки делится и на 5, и на 9»

Число, которое делится одновременно на 5 и на 9, должно делиться на их наименьшее общее кратное (НОК). Поскольку числа 5 и 9 являются взаимно простыми, их НОК равно их произведению: $НОК(5, 9) = 5 \times 9 = 45$. Найдем числа от 1 до 90, которые делятся на 45. Такими числами являются: 45, 90. Всего таких чисел 2, значит, $m = 2$. Вероятность события B равна: $P(B) = \frac{m}{n} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}$.
Ответ: $\frac{1}{45}$.

в) C — «номер вынутой фишки меньше 100»

Все фишки в лото имеют номера от 1 до 90. Каждый из этих номеров меньше 100. Следовательно, это событие является достоверным, так как ему благоприятствуют все возможные исходы. Число благоприятствующих исходов $m$ равно общему числу фишек, то есть $m = 90$. Вероятность события C равна: $P(C) = \frac{m}{n} = \frac{90}{90} = 1$.
Ответ: $1$.

г) D — «номер вынутой фишки 77»

Данному событию благоприятствует только один исход — извлечение фишки с номером 77. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m = 1$. Вероятность события D равна: $P(D) = \frac{m}{n} = \frac{1}{90}$.
Ответ: $\frac{1}{90}$.

12.9 Три ученицы купили билеты в театр на три соседних места. Какова вероятность того, что место первой ученицы окажется посередине, если она наудачу выберет один билет из трёх?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Формула для вычисления вероятности $P$:

$P = \frac{m}{n}$

где:

• $n$ — общее число всех возможных исходов;
• $m$ — число благоприятных исходов.

В условиях задачи сказано, что есть три билета на три соседних места. Первая ученица выбирает один билет наугад.

1. Найдем общее число исходов (n).

Общее число исходов — это количество всех возможных вариантов выбора билета для первой ученицы. Поскольку билетов всего три, то и выбрать она может один из трёх. Следовательно, общее число равновозможных исходов $n = 3$.

2. Найдем число благоприятных исходов (m).

Благоприятный исход — это событие, при котором ученица выберет билет на место, находящееся посередине. Из трёх соседних мест (например, левое, центральное, правое) только одно является средним. Таким образом, существует только один билет, соответствующий благоприятному исходу. Следовательно, число благоприятных исходов $m = 1$.

3. Рассчитаем вероятность.

Теперь, зная общее число исходов и число благоприятных исходов, мы можем вычислить искомую вероятность:

$P = \frac{m}{n} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

12.10 a) Я задумал двузначное число. Какова вероятность того, что вы угадаете это число с первого раза?

б) Я задумал двузначное число, записанное разными цифрами. Какова вероятность того, что вы угадаете это число с первого раза?

а) Для нахождения вероятности воспользуемся классической формулой вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число всех возможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.
В данном случае общее число исходов $N$ — это количество всех двузначных чисел. Двузначными являются целые числа от 10 до 99. Их общее количество можно найти так: $99 - 10 + 1 = 90$. Итак, $N = 90$.
Благоприятствующий исход $m$ — это угадывание загаданного числа. Поскольку загадано только одно число, то $m = 1$.
Таким образом, вероятность угадать число с первого раза равна:
$P = \frac{m}{N} = \frac{1}{90}$
Ответ: $\frac{1}{90}$.

б) В этой задаче условие изменяется: задуманное двузначное число записано разными цифрами. Нам нужно найти новое общее число исходов $N$.
Первая цифра двузначного числа может быть любой от 1 до 9 (всего 9 вариантов), так как число не может начинаться с нуля.
Вторая цифра может быть любой от 0 до 9, но она не должна быть равна первой. Это означает, что для выбора второй цифры остается $10 - 1 = 9$ вариантов.
По правилу умножения, общее количество двузначных чисел с разными цифрами равно:
$N = 9 \times 9 = 81$.
Число благоприятствующих исходов $m$ по-прежнему равно 1, так как угадать нужно одно конкретное число.
Вероятность угадать такое число с первого раза равна:
$P = \frac{m}{N} = \frac{1}{81}$
Ответ: $\frac{1}{81}$.

12.11 Ученик задумал натуральное число не превышающее 100.

Какова вероятность того, что это число:

а) чётное;

б) делится на 4;

в) делится на 10;

г) при делении на 10 даёт в остатке 7?

Ученик задумал натуральное число, не превышающее 100. Это означает, что он мог задумать любое целое число от 1 до 100 включительно. Таким образом, общее число возможных исходов (задуманных чисел) равно $N=100$.Вероятность события A вычисляется по классической формуле вероятности: $P(A) = \frac{M}{N}$, где $M$ — число исходов, благоприятствующих событию A, а $N$ — общее число равновозможных исходов.

а) чётное
Найдем вероятность того, что задуманное число — чётное.Чётными являются числа, которые делятся на 2 без остатка. В диапазоне от 1 до 100 ровно половина чисел являются чётными. Это числа 2, 4, 6, ..., 100.Число благоприятствующих исходов $M_a = \frac{100}{2} = 50$.Вероятность того, что число чётное, равна:$P(a) = \frac{M_a}{N} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Ответ: 0,5.

б) делится на 4
Найдем вероятность того, что задуманное число делится на 4.Благоприятствующими исходами являются числа, кратные 4. В диапазоне от 1 до 100 это числа 4, 8, 12, ..., 100.Чтобы найти их количество, разделим 100 на 4.Число благоприятствующих исходов $M_b = \frac{100}{4} = 25$.Вероятность того, что число делится на 4, равна:$P(b) = \frac{M_b}{N} = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0,25$.
Ответ: 0,25.

в) делится на 10
Найдем вероятность того, что задуманное число делится на 10.Благоприятствующими исходами являются числа, кратные 10. В диапазоне от 1 до 100 это числа 10, 20, 30, ..., 100.Чтобы найти их количество, разделим 100 на 10.Число благоприятствующих исходов $M_c = \frac{100}{10} = 10$.Вероятность того, что число делится на 10, равна:$P(c) = \frac{M_c}{N} = \frac{10}{100} = \frac{1}{10} = 0,1$.
Ответ: 0,1.

г) при делении на 10 даёт в остатке 7
Найдем вероятность того, что задуманное число при делении на 10 даёт в остатке 7.Такие числа имеют вид $10k + 7$, где $k$ — целое неотрицательное число. Нам нужно найти, сколько таких чисел находится в диапазоне от 1 до 100.Ищем $k$, для которых $1 \le 10k + 7 \le 100$.
Решим неравенство:
$1 - 7 \le 10k \le 100 - 7$
$-6 \le 10k \le 93$
$-0,6 \le k \le 9,3$
Поскольку $k$ по определению целое неотрицательное число ($k \ge 0$), его возможные значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.Всего 10 возможных значений для $k$, что соответствует 10-ти числам (7, 17, 27, ..., 97).Число благоприятствующих исходов $M_d = 10$.Вероятность этого события равна:$P(d) = \frac{M_d}{N} = \frac{10}{100} = \frac{1}{10} = 0,1$.
Ответ: 0,1.

12.12 Используя некоторые из пяти цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторения, записали четырёхзначное число. Какова вероятность того, что вы угадаете это число с первого раза?

Для решения этой задачи необходимо определить вероятность события, которая вычисляется по классической формуле вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — это общее число всех возможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Событие A в данном случае — это угадывание загаданного четырёхзначного числа с первой попытки.

Сначала найдём общее число возможных исходов $n$. Нам нужно определить, сколько всего различных четырёхзначных чисел можно составить из пяти цифр {1, 2, 3, 4, 5} без повторения. Поскольку порядок цифр в числе важен (например, 1234 и 4321 — разные числа), мы имеем дело с размещениями.

Число размещений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

В нашем случае общее количество цифр $n=5$, а количество позиций в числе $k=4$.

Вычисляем общее число возможных четырёхзначных чисел: $n = A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

Таким образом, существует 120 уникальных четырёхзначных чисел, которые можно составить из данных цифр без повторения.

Число благоприятствующих исходов $m$ равно 1, так как загадано только одно конкретное число, и именно его нужно угадать.

Теперь мы можем рассчитать вероятность угадать это число с первого раза: $P(A) = \frac{m}{n} = \frac{1}{120}$.

Ответ: $\frac{1}{120}$

12.13 Четырёхзначное число записали, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5 (цифры числа могут быть одинаковые). Какова вероятность того, что вы угадаете это число с первого раза?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $N$ – общее число всех равновозможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию.

Сначала найдем общее число $N$ всех возможных четырёхзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5. Мы составляем четырёхзначное число, в котором есть 4 позиции. По условию, цифры в числе могут повторяться. Это означает, что на каждую из четырёх позиций мы можем поставить любую из пяти доступных цифр.

Таким образом, для первой цифры есть 5 вариантов, для второй — 5 вариантов, для третьей — 5 вариантов и для четвертой — 5 вариантов.

Согласно комбинаторному правилу умножения, общее число всех возможных комбинаций (чисел) равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$N = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4 = 625$.

Следовательно, всего можно составить 625 различных четырёхзначных чисел.

Далее, определим число благоприятных исходов $m$. Благоприятный исход — это угадывание загаданного числа с первой попытки. Поскольку загадано только одно конкретное число, существует лишь один благоприятный исход. Значит, $m = 1$.

Теперь рассчитаем искомую вероятность:

$P = \frac{m}{N} = \frac{1}{625}$.

Ответ: $\frac{1}{625}$