Страница 344 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

13.1 Проведите опыт с бросанием монеты 50 раз. Вычислите относительную частоту выпадания герба. Сравните свой результат с результатами других учащихся вашего класса.

13.1

Это задание предполагает проведение реального физического эксперимента. Поскольку выполнить его в цифровом формате невозможно, мы проведем мысленный (смоделированный) эксперимент и на его основе выполним все требуемые вычисления и сравнения.

1. Проведение опыта
Опыт заключается в бросании монеты 50 раз. У каждого броска есть два равновероятных исхода: "герб" или "решка".
Предположим, мы провели эксперимент и записали результаты. Допустим, "герб" выпал 26 раз.
Тогда общее число испытаний (бросков) равно $n = 50$.
Число выпадений "герба" (событий, которые нас интересуют) равно $m = 26$.

2. Вычисление относительной частоты
Относительная частота события – это отношение числа испытаний, в которых событие произошло, к общему числу проведенных испытаний. Формула для относительной частоты $W(A)$ события A:
$W(A) = \frac{m}{n}$
В нашем случае, событие A – это "выпадение герба". Подставим наши значения:
$W(\text{герб}) = \frac{26}{50}$
Для удобства переведем эту дробь в десятичную:
$W(\text{герб}) = \frac{26 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{52}{100} = 0.52$.
Итак, относительная частота выпадения герба в нашем эксперименте составила $0.52$.

3. Сравнение результатов
Теоретическая вероятность выпадения герба для идеальной монеты составляет $P(\text{герб}) = \frac{1}{2} = 0.5$.
Наш результат, относительная частота $0.52$, очень близок к теоретической вероятности. Небольшое отличие объясняется случайным характером эксперимента.
При сравнении с результатами других учащихся, скорее всего, обнаружатся следующие закономерности:

• Результаты у всех будут разными. Например, у кого-то герб мог выпасть 23 раза (частота $0.46$), у кого-то 25 раз (частота $0.5$), у кого-то 28 раз (частота $0.56$).
• Большинство полученных значений относительной частоты будут группироваться вокруг теоретической вероятности $0.5$.
• Согласно закону больших чисел, если объединить результаты всех учеников класса (увеличив тем самым общее число бросков $n$), то общая относительная частота выпадения герба будет еще ближе к $0.5$.

Ответ: В результате смоделированного эксперимента (26 выпадений герба из 50 бросков) относительная частота выпадения герба составила $0.52$. Этот результат близок к теоретической вероятности ($0.5$), а результаты других учеников, вероятно, также будут отличаться от $0.5$, но концентрироваться вокруг этого значения.

13.2 Проведите опыт с бросанием игральной кости 60 раз. Вычислите относительную частоту каждого из событий: $A$ — «выпадание шести очков»; $B$ — «выпадание чётного числа очков».

Поскольку задача предполагает проведение физического опыта, который невозможно выполнить в текстовом формате, мы смоделируем этот эксперимент. Для этого сгенерируем 60 случайных результатов броска стандартной игральной кости (числа от 1 до 6). Важно понимать, что при реальном проведении опыта ваши результаты, скорее всего, будут отличаться, но метод расчета останется тем же.

Пусть в результате 60 бросков ($n=60$) мы получили следующие исходы:

• 1 очко: 9 раз
• 2 очка: 12 раз
• 3 очка: 11 раз
• 4 очка: 8 раз
• 5 очка: 11 раз
• 6 очков: 9 раз

Проверим общее количество бросков: $9 + 12 + 11 + 8 + 11 + 9 = 60$. Данные корректны.

Относительная частота события вычисляется по формуле $W = \frac{m}{n}$, где $m$ — число раз, когда событие произошло (частота события), а $n$ — общее число испытаний.

A — «выпадание шести очков»
В нашем смоделированном эксперименте шесть очков выпало 9 раз. Таким образом, частота события A составляет $m_A = 9$. Общее число испытаний $n = 60$.
Вычислим относительную частоту события A: $W(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{9}{60}$
Сократим полученную дробь на 3: $W(A) = \frac{9 \div 3}{60 \div 3} = \frac{3}{20}$
Ответ: $\frac{3}{20}$

B — «выпадание чётного числа очков»
Событие B происходит, когда выпадает 2, 4 или 6 очков. Посчитаем общую частоту этого события, сложив количество выпадений каждого из этих исходов:
$m_B = (\text{число выпадений «2»}) + (\text{число выпадений «4»}) + (\text{число выпадений «6»}) = 12 + 8 + 9 = 29$
Таким образом, частота события B составляет $m_B = 29$. Общее число испытаний $n = 60$.
Вычислим относительную частоту события B: $W(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{29}{60}$
Эта дробь является несократимой, так как 29 — простое число, а 60 на 29 не делится.
Ответ: $\frac{29}{60}$

13.3 Пятеро учащихся при бросании монеты 50 раз получили следующие данные (табл. 4):

Таблица 4

Вычислите относительную частоту выпадания герба во всех 250 опытах.

Для того чтобы вычислить относительную частоту выпадания герба во всех 250 опытах, необходимо найти общее число выпаданий герба и разделить его на общее число проведенных опытов (бросков).

Формула для вычисления относительной частоты события: $W = \frac{m}{n}$ где $m$ — число наступления события (в данном случае — выпадение герба), а $n$ — общее число испытаний.

1. Найдем общее число испытаний ($n$).
Согласно условию, 5 учащихся бросили монету по 50 раз каждый. Следовательно, общее число бросков:
$n = 5 \times 50 = 250$

2. Найдем общее число выпаданий герба ($m$).
Для этого сложим количество выпаданий герба, полученное каждым из пяти учащихся, используя данные из таблицы:
$m = 27 + 28 + 23 + 26 + 24 = 128$

3. Вычислим относительную частоту выпадания герба.
Подставим найденные значения $m$ и $n$ в формулу:
$W = \frac{128}{250}$
Преобразуем полученную дробь в десятичное число:
$W = \frac{128}{250} = 0,512$

Ответ: 0,512