Страница 348 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

13.6 В ящике находятся 15 шаров: 7 белых и 8 чёрных, из них 3 белых шара и 2 чёрных помечены звёздочками. Опыт состоит в том, что из ящика наугад вынимают один шар.

Событие $A$ заключается в том, что вынут белый шар, событие $B$ — «вынут чёрный шар», событие $C$ — «вынут шар, помеченный звёздочкой».

Вычислите вероятность:

а) $P(A)$;

б) $P(B)$;

в) $P(C)$;

г) $P_C(A)$;

д) $P_C(B)$;

е) $P_A(C)$;

ж) $P_B(C)$;

з) $P_B(A)$.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $N$ – общее количество шаров в ящике, $N = 15$.
• $N_W$ – количество белых шаров, $N_W = 7$.
• $N_B$ – количество чёрных шаров, $N_B = 8$.
• $N_{WS}$ – количество белых шаров, помеченных звёздочками, $N_{WS} = 3$.
• $N_{BS}$ – количество чёрных шаров, помеченных звёздочками, $N_{BS} = 2$.
• $N_S$ – общее количество шаров, помеченных звёздочками, $N_S = N_{WS} + N_{BS} = 3 + 2 = 5$.

События:

• $A$ – вынут белый шар.
• $B$ – вынут чёрный шар.
• $C$ – вынут шар, помеченный звёздочкой.

а) P(A);
Вероятность события A (вынут белый шар) вычисляется как отношение числа белых шаров к общему числу шаров.$P(A) = \frac{N_W}{N} = \frac{7}{15}$.
Ответ: $P(A) = \frac{7}{15}$

б) P(B);
Вероятность события B (вынут чёрный шар) вычисляется как отношение числа чёрных шаров к общему числу шаров.$P(B) = \frac{N_B}{N} = \frac{8}{15}$.
Ответ: $P(B) = \frac{8}{15}$

в) P(C);
Вероятность события C (вынут шар, помеченный звёздочкой) вычисляется как отношение числа шаров со звёздочками к общему числу шаров.$P(C) = \frac{N_S}{N} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $P(C) = \frac{1}{3}$

г) P_C(A);
Это условная вероятность того, что вынут белый шар, при условии, что он помечен звёздочкой. Мы рассматриваем только шары со звёздочками. Всего таких шаров 5, из них белых — 3.$P_C(A) = P(A|C) = \frac{\text{число белых шаров со звёздочкой}}{\text{общее число шаров со звёздочкой}} = \frac{N_{WS}}{N_S} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $P_C(A) = \frac{3}{5}$

д) P_C(B);
Это условная вероятность того, что вынут чёрный шар, при условии, что он помечен звёздочкой. Мы рассматриваем только шары со звёздочками. Всего таких шаров 5, из них чёрных — 2.$P_C(B) = P(B|C) = \frac{\text{число чёрных шаров со звёздочкой}}{\text{общее число шаров со звёздочкой}} = \frac{N_{BS}}{N_S} = \frac{2}{5}$.
Ответ: $P_C(B) = \frac{2}{5}$

е) P_A(C);
Это условная вероятность того, что на вынутом шаре есть звёздочка, при условии, что он белый. Мы рассматриваем только белые шары. Всего белых шаров 7, из них со звёздочкой — 3.$P_A(C) = P(C|A) = \frac{\text{число белых шаров со звёздочкой}}{\text{общее число белых шаров}} = \frac{N_{WS}}{N_W} = \frac{3}{7}$.
Ответ: $P_A(C) = \frac{3}{7}$

ж) P_B(C);
Это условная вероятность того, что на вынутом шаре есть звёздочка, при условии, что он чёрный. Мы рассматриваем только чёрные шары. Всего чёрных шаров 8, из них со звёздочкой — 2.$P_B(C) = P(C|B) = \frac{\text{число чёрных шаров со звёздочкой}}{\text{общее число чёрных шаров}} = \frac{N_{BS}}{N_B} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $P_B(C) = \frac{1}{4}$

з) P_B(A).
Это условная вероятность того, что вынут белый шар, при условии, что он чёрный. События A (вынут белый шар) и B (вынут чёрный шар) являются несовместными, то есть не могут произойти одновременно. Если вынут чёрный шар, то он не может быть белым.$P_B(A) = P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0}{8/15} = 0$.
Ответ: $P_B(A) = 0$

13.7 В условиях предыдущей задачи определите, являются ли независимыми события:

а) $A$ и $B$;

б) $A$ и $C$;

в) $B$ и $C$.

Для решения задачи воспользуемся условиями из предыдущей задачи (13.6), в которой рассматривается эксперимент с бросанием двух игральных костей. Общее число равновозможных исходов в этом эксперименте составляет $N = 6 \times 6 = 36$.

События, о которых идет речь в задаче, определены следующим образом:
Событие A: на первой кости выпала шестерка.
Событие B: на второй кости выпала шестерка.
Событие C: сумма выпавших очков равна 7.

По определению, два события $X$ и $Y$ являются независимыми, если вероятность их совместного появления равна произведению их индивидуальных вероятностей, то есть $P(X \cap Y) = P(X)P(Y)$.

Сначала найдем вероятности каждого из событий A, B и C.

Событию A благоприятствуют 6 исходов: $\{(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\}$.
Следовательно, вероятность события A: $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Событию B благоприятствуют 6 исходов: $\{(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)\}$.
Следовательно, вероятность события B: $P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Событию C благоприятствуют 6 исходов: $\{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)\}$.
Следовательно, вероятность события C: $P(C) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Теперь проверим на независимость каждую пару событий.

а) А и В

Найдем вероятность совместного наступления событий A и B, то есть $P(A \cap B)$. Событие $A \cap B$ означает, что на первой кости выпала шестерка и на второй кости выпала шестерка. Этому событию благоприятствует только один исход: $(6, 6)$.
Вероятность этого события: $P(A \cap B) = \frac{1}{36}$.

Теперь вычислим произведение вероятностей $P(A)$ и $P(B)$: $P(A)P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $P(A \cap B) = P(A)P(B)$, так как $\frac{1}{36} = \frac{1}{36}$. Это означает, что события A и B являются независимыми.

Ответ: события A и B независимы.

б) А и С

Найдем вероятность совместного наступления событий A и C, то есть $P(A \cap C)$. Событие $A \cap C$ означает, что на первой кости выпала шестерка и сумма очков на двух костях равна 7. Этому событию благоприятствует только один исход: $(6, 1)$.
Вероятность этого события: $P(A \cap C) = \frac{1}{36}$.

Теперь вычислим произведение вероятностей $P(A)$ и $P(C)$: $P(A)P(C) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $P(A \cap C) = P(A)P(C)$, так как $\frac{1}{36} = \frac{1}{36}$. Это означает, что события A и C являются независимыми.

Ответ: события A и C независимы.

в) В и С

Найдем вероятность совместного наступления событий B и C, то есть $P(B \cap C)$. Событие $B \cap C$ означает, что на второй кости выпала шестерка и сумма очков на двух костях равна 7. Этому событию благоприятствует только один исход: $(1, 6)$.
Вероятность этого события: $P(B \cap C) = \frac{1}{36}$.

Теперь вычислим произведение вероятностей $P(B)$ и $P(C)$: $P(B)P(C) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $P(B \cap C) = P(B)P(C)$, так как $\frac{1}{36} = \frac{1}{36}$. Это означает, что события B и C являются независимыми.

Ответ: события B и C независимы.

13.8 В некотором опыте события $A$ и $B$ независимы и известны вероятности $P(AB) = 0,01$, $P(B) = 0,2$. Вычислите вероятность $P(A)$.

По условию задачи события A и B являются независимыми. Главным свойством независимых событий является то, что вероятность их одновременного наступления (вероятность произведения событий $AB$) равна произведению их индивидуальных вероятностей.

Это свойство выражается следующей формулой:
$P(AB) = P(A) \cdot P(B)$

Из условия нам известны следующие вероятности:
$P(AB) = 0,01$
$P(B) = 0,2$

Чтобы найти искомую вероятность $P(A)$, необходимо выразить её из основной формулы для независимых событий. Для этого разделим обе части равенства на $P(B)$:
$P(A) = \frac{P(AB)}{P(B)}$

Теперь подставим известные значения в полученную формулу и выполним вычисление:
$P(A) = \frac{0,01}{0,2}$
$P(A) = 0,05$

Ответ: $P(A) = 0,05$.

13.9 На предприятии имеются два устройства, подающие сигнал в случае аварии оборудования. Вероятность того, что в случае аварии подаст сигнал первая сигнализация, равна 0,95, а вероятность того, что вторая, — 0,90. Считая, что подача сигнала первым и вторым устройствами — независимые события, найдите вероятность того, что при аварии подаст сигнал хотя бы одна из сигнализаций.

Пусть событие $A$ заключается в том, что при аварии подаст сигнал первая сигнализация, а событие $B$ — в том, что подаст сигнал вторая сигнализация. Согласно условию задачи, вероятности этих событий равны:
$P(A) = 0,95$
$P(B) = 0,90$

Необходимо найти вероятность того, что при аварии подаст сигнал хотя бы одна из сигнализаций. Это событие соответствует объединению событий $A$ и $B$, то есть $A \cup B$.

Для решения этой задачи удобнее всего использовать метод вычисления через противоположное событие. Событие, противоположное событию «хотя бы одна сигнализация подаст сигнал», — это событие «ни одна из сигнализаций не подаст сигнал».

Найдем вероятности событий, противоположных $A$ и $B$:
Событие $\bar{A}$ — первая сигнализация не подаст сигнал. Его вероятность:
$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,95 = 0,05$
Событие $\bar{B}$ — вторая сигнализация не подаст сигнал. Его вероятность:
$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,90 = 0,10$

По условию, подача сигнала первым и вторым устройствами — независимые события. Следовательно, противоположные им события ($\bar{A}$ и $\bar{B}$) также являются независимыми. Вероятность того, что не сработает ни одна из сигнализаций (то есть одновременно произойдут события $\bar{A}$ и $\bar{B}$), равна произведению их вероятностей:
$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) = 0,05 \cdot 0,10 = 0,005$

Искомая вероятность того, что сработает хотя бы одна сигнализация, равна разности между единицей и вероятностью противоположного события (что ни одна не сработает):
$P(A \cup B) = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0,005 = 0,995$

Ответ: 0,995

13.10 Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,7, вторым — 0,8. Считая, что поражения мишени каждым из стрелков являются независимыми событиями, найдите вероятность такого события:

а) мишень поразят оба стрелка;

б) мишень поразит первый стрелок, но не поразит второй;

в) мишень поразит второй стрелок, но не поразит первый;

г) мишень не поразит ни один из стрелков;

д) мишень поразит хотя бы один из стрелков.

Обозначим события:

• $A$ – мишень поразит первый стрелок.
• $B$ – мишень поразит второй стрелок.

По условию задачи вероятности этих событий равны:

$P(A) = 0,7$

$P(B) = 0,8$

События $A$ и $B$ по условию являются независимыми. Это означает, что исход стрельбы одного стрелка не влияет на исход стрельбы другого.

Для решения некоторых пунктов нам также понадобятся вероятности противоположных событий:

• $\bar{A}$ – первый стрелок не поразит мишень.
• $\bar{B}$ – второй стрелок не поразит мишень.

Вероятность того, что первый стрелок не поразит мишень, равна:

$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,7 = 0,3$

Вероятность того, что второй стрелок не поразит мишень, равна:

$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2$

а) мишень поразят оба стрелка

Это событие означает, что произойдут и событие $A$, и событие $B$. Так как события независимы, вероятность их совместного наступления (пересечения) равна произведению их вероятностей.

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0,7 \times 0,8 = 0,56$

Ответ: $0,56$

б) мишень поразит первый стрелок, но не поразит второй

Это событие означает, что произойдет событие $A$ и противоположное событию $B$ (то есть $\bar{B}$). Поскольку события $A$ и $B$ независимы, то события $A$ и $\bar{B}$ также независимы. Их вероятность равна произведению вероятностей.

$P(A \cap \bar{B}) = P(A) \times P(\bar{B}) = 0,7 \times 0,2 = 0,14$

Ответ: $0,14$

в) мишень поразит второй стрелок, но не поразит первый

Это событие означает, что произойдет событие $B$ и противоположное событию $A$ (то есть $\bar{A}$). Вероятность этого события также находится как произведение вероятностей независимых событий $\bar{A}$ и $B$.

$P(\bar{A} \cap B) = P(\bar{A}) \times P(B) = 0,3 \times 0,8 = 0,24$

Ответ: $0,24$

г) мишень не поразит ни один из стрелков

Это событие означает, что произойдут оба противоположных события: $\bar{A}$ и $\bar{B}$. Вероятность этого события равна произведению их вероятностей.

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) = 0,3 \times 0,2 = 0,06$

Ответ: $0,06$

д) мишень поразит хотя бы один из стрелков

Это событие означает, что мишень поразит либо первый стрелок, либо второй, либо оба вместе. Это объединение событий $A$ и $B$. Вероятность этого события можно найти двумя способами.

Способ 1: По формуле сложения вероятностей.
Вероятность объединения двух событий равна сумме их вероятностей минус вероятность их пересечения.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Вероятность пересечения $P(A \cap B)$ была найдена в пункте а): $0,56$.
$P(A \cup B) = 0,7 + 0,8 - 0,56 = 1,5 - 0,56 = 0,94$

Способ 2: Через противоположное событие.
Событие "хотя бы один поразит" является противоположным событию "ни один не поразит". Вероятность события "ни один не поразит" мы нашли в пункте г): $0,06$. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, следовательно, искомая вероятность равна:
$1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0,06 = 0,94$

Ответ: $0,94$