Страница 352 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

14.2 Два стрелка стреляют по мишени, состоящей из трёх областей. Попадание в первую область даёт стрелку 5 очков, во вторую — 10 очков, в третью — 20 очков. Законы распределения числа выбитых очков для каждого из них заданы таблицами 8 и 9, где $x$ — число очков, выбитых первым стрелком, $y$ — вторым. Определите, какой стрелок лучше в среднем стреляет по этой мишени.

Таблица 8

$x_i$: 5, 10, 20

$p_i$: 0,3, 0,4, 0,3

Таблица 9

$y_i$: 5, 10, 20

$p_i$: 0,2, 0,6, 0,2

Чтобы определить, какой стрелок в среднем стреляет лучше, необходимо найти математическое ожидание (среднее значение) числа выбитых очков для каждого стрелка. Математическое ожидание $M(X)$ для дискретной случайной величины $X$ вычисляется по формуле:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$, где $x_i$ — возможные значения случайной величины, а $p_i$ — соответствующие им вероятности.

Математическое ожидание для первого стрелка

Для первого стрелка (случайная величина $x$) закон распределения задан Таблицей 8. Возможные значения очков и их вероятности: $x_1 = 5$ с вероятностью $p_1 = 0,3$; $x_2 = 10$ с вероятностью $p_2 = 0,4$; $x_3 = 20$ с вероятностью $p_3 = 0,3$.

Вычислим математическое ожидание $M(X)$ для первого стрелка:

$M(X) = 5 \cdot 0,3 + 10 \cdot 0,4 + 20 \cdot 0,3 = 1,5 + 4,0 + 6,0 = 11,5$ очков.

Математическое ожидание для второго стрелка

Для второго стрелка (случайная величина $y$) закон распределения задан Таблицей 9. Возможные значения очков и их вероятности: $y_1 = 5$ с вероятностью $p_1 = 0,2$; $y_2 = 10$ с вероятностью $p_2 = 0,6$; $y_3 = 20$ с вероятностью $p_3 = 0,2$.

Вычислим математическое ожидание $M(Y)$ для второго стрелка:

$M(Y) = 5 \cdot 0,2 + 10 \cdot 0,6 + 20 \cdot 0,2 = 1,0 + 6,0 + 4,0 = 11,0$ очков.

Сравнение и вывод

Среднее количество очков, которое набирает первый стрелок, равно $M(X) = 11,5$.

Среднее количество очков, которое набирает второй стрелок, равно $M(Y) = 11,0$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $11,5 > 11,0$. Следовательно, в среднем первый стрелок стреляет лучше.

Ответ: В среднем лучше стреляет первый стрелок.

Будем называть игру «справедливой», если в среднем будет одинаковым число очков или денег, получаемых каждым игроком. Определите, является ли «справедливой» игра, описанная в следующей задаче (14.3—14.6):

14.3 Подбрасываются две монеты.

Игрок А получает 3 очка, если выпадают два герба, 0 очков в других случаях. Игрок В получает 2 очка, если выпадают герб и решка, 0 очков в других случаях.

Чтобы определить, является ли игра «справедливой», необходимо рассчитать математическое ожидание (среднее количество очков) для каждого игрока. Игра будет считаться справедливой, если эти значения равны.

При подбрасывании двух монет существует четыре равновероятных исхода:
1. Герб, Герб (ГГ)
2. Герб, Решка (ГР)
3. Решка, Герб (РГ)
4. Решка, Решка (РР)
Вероятность каждого из этих исходов составляет $1/4$.

14.3
Теперь рассчитаем математическое ожидание выигрыша для каждого игрока.

Для игрока А:
Игрок А получает 3 очка при выпадении двух гербов (исход ГГ). Вероятность этого события $P(A) = P(ГГ) = 1/4$. В остальных трех случаях, вероятность которых составляет $3/4$, игрок А получает 0 очков.
Математическое ожидание для игрока А ($E_A$) равно:
$E_A = 3 \times \frac{1}{4} + 0 \times \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$

Для игрока B:
Игрок В получает 2 очка при выпадении герба и решки. Это соответствует двум исходам: ГР и РГ. Суммарная вероятность этих событий $P(B) = P(ГР) + P(РГ) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. В остальных двух случаях (ГГ и РР), вероятность которых также равна $1/2$, игрок В получает 0 очков.
Математическое ожидание для игрока B ($E_B$) равно:
$E_B = 2 \times \frac{1}{2} + 0 \times \frac{1}{2} = 1$

Сравниваем математические ожидания обоих игроков: $E_A = \frac{3}{4}$ и $E_B = 1$.
Поскольку $E_A \neq E_B$ ($\frac{3}{4} \neq 1$), среднее число очков, получаемых каждым игроком, не одинаково. Следовательно, игра не является справедливой.

Ответ: нет, игра не является справедливой.

14.4 Подбрасываются две монеты. Игрок А получает 2 очка, если выпадают два герба, 0 очков в других случаях. Игрок В получает 1 очко, если выпадают герб и решка, 0 очков в других случаях.

Для решения задачи сначала определим все возможные исходы при подбрасывании двух монет и их вероятности. Пусть "Г" обозначает выпадение герба, а "Р" - выпадение решки.

При подбрасывании двух монет существует 4 равновероятных элементарных исхода:

• ГГ (выпали два герба)
• ГР (на первой монете герб, на второй - решка)
• РГ (на первой монете решка, на второй - герб)
• РР (выпали две решки)

Вероятность каждого из этих исходов равна $1/4$.

Так как в условии задачи не сформулированы конкретные вопросы, проанализируем игру для каждого игрока, найдем законы распределения их очков и математические ожидания, а затем сравним их шансы.

а) Анализ очков игрока А

Пусть $X_A$ - случайная величина, равная количеству очков, полученных игроком А. Согласно условию:

• $X_A = 2$, если выпадает два герба (исход ГГ).
• $X_A = 0$ в остальных случаях (исходы ГР, РГ, РР).

Найдем вероятности возможных значений $X_A$:

Вероятность того, что игрок А получит 2 очка, равна вероятности исхода ГГ: $P(X_A = 2) = P(ГГ) = \frac{1}{4}$.

Вероятность того, что игрок А получит 0 очков, равна сумме вероятностей остальных исходов: $P(X_A = 0) = P(ГР) + P(РГ) + P(РР) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Таким образом, закон распределения очков игрока А можно представить в виде таблицы:

Математическое ожидание (среднее количество очков за одну игру) для игрока А равно:

$M(X_A) = 2 \cdot P(X_A = 2) + 0 \cdot P(X_A = 0) = 2 \cdot \frac{1}{4} + 0 \cdot \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.

Ответ: Закон распределения очков игрока А: $P(X_A=2) = 1/4$, $P(X_A=0) = 3/4$. Математическое ожидание очков игрока А равно $0.5$.

б) Анализ очков игрока В

Пусть $X_B$ - случайная величина, равная количеству очков, полученных игроком В. Согласно условию:

• $X_B = 1$, если выпадают герб и решка (исходы ГР и РГ).
• $X_B = 0$ в остальных случаях (исходы ГГ и РР).

Найдем вероятности возможных значений $X_B$:

Вероятность того, что игрок В получит 1 очко, равна сумме вероятностей исходов ГР и РГ: $P(X_B = 1) = P(ГР) + P(РГ) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Вероятность того, что игрок В получит 0 очков, равна сумме вероятностей остальных исходов: $P(X_B = 0) = P(ГГ) + P(РР) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, закон распределения очков игрока В:

Математическое ожидание для игрока В равно:

$M(X_B) = 1 \cdot P(X_B = 1) + 0 \cdot P(X_B = 0) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: Закон распределения очков игрока В: $P(X_B=1) = 1/2$, $P(X_B=0) = 1/2$. Математическое ожидание очков игрока В равно $0.5$.

в) Сравнение игроков и вывод о справедливости игры

Для того чтобы определить, является ли игра справедливой, сравним математические ожидания очков каждого игрока. Математическое ожидание показывает среднее количество очков, которое игрок будет получать за одну игру при большом количестве повторений.

Математическое ожидание очков игрока А: $M(X_A) = 0.5$.

Математическое ожидание очков игрока В: $M(X_B) = 0.5$.

Поскольку $M(X_A) = M(X_B)$, средние ожидаемые "выигрыши" (в очках) у игроков одинаковы. Это означает, что в долгосрочной перспективе ни один из игроков не имеет преимущества. Следовательно, игра является справедливой.

Несмотря на равенство средних ожиданий, стратегии игроков различаются. Игрок А выигрывает реже (вероятность $1/4$), но получает больше очков (2). Игрок В выигрывает чаще (вероятность $1/2$), но получает меньше очков (1). Тем не менее, с точки зрения среднего результата игра сбалансирована.

Ответ: Так как математические ожидания очков у обоих игроков равны ($0.5$), игра является справедливой.

14.5 Подбрасываются две игральные кости. Игрок A получает 6 очков, если выпадает сумма, не большая 7 очков, 0 очков в других случаях. Игрок B получает 8 очков, если выпадает сумма, большая 7 очков, 0 очков в других случаях.

Для решения задачи определим общее количество возможных исходов при подбрасывании двух игральных костей. Каждая кость имеет 6 граней, поэтому общее число комбинаций равно $6 \times 6 = 36$. Все эти исходы равновероятны.

Сначала рассмотрим условия для Игрока А. Он получает 6 очков, если сумма очков на костях не больше 7 (то есть $\le 7$). Найдем количество исходов, удовлетворяющих этому условию, перечислив их по суммам:

• Сумма 2: (1,1) – 1 исход
• Сумма 3: (1,2), (2,1) – 2 исхода
• Сумма 4: (1,3), (2,2), (3,1) – 3 исхода
• Сумма 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) – 4 исхода
• Сумма 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) – 5 исходов
• Сумма 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) – 6 исходов

Таким образом, общее количество благоприятных исходов для Игрока А составляет $N_A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$. Вероятность того, что Игрок А получит очки, равна $P(\text{сумма} \le 7) = \frac{21}{36} = \frac{7}{12}$.

Теперь рассмотрим условия для Игрока B. Он получает 8 очков, если сумма очков больше 7. Это событие является противоположным событию для Игрока А. Количество исходов, при которых сумма больше 7, равно $N_B = 36 - 21 = 15$. Вероятность этого события равна $P(\text{сумма} > 7) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.

Чтобы определить, для кого игра выгоднее, необходимо вычислить математическое ожидание выигрыша для каждого игрока. Математическое ожидание ($E$) – это среднее значение выигрыша, которое можно ожидать при многократном повторении игры.

Математическое ожидание выигрыша для Игрока А ($E_A$) равно:

$E_A = 6 \times P(\text{сумма} \le 7) + 0 \times P(\text{сумма} > 7) = 6 \times \frac{21}{36} + 0 = \frac{126}{36} = \frac{7}{2} = 3.5$ очка.

Математическое ожидание выигрыша для Игрока B ($E_B$) равно:

$E_B = 8 \times P(\text{сумма} > 7) + 0 \times P(\text{сумма} \le 7) = 8 \times \frac{15}{36} + 0 = \frac{120}{36} = \frac{10}{3} \approx 3.333$ очка.

Сравнивая полученные значения, видим, что $E_A > E_B$ ($3.5 > 10/3$). Это означает, что в среднем за одну игру Игрок А будет получать больше очков, чем Игрок B. Следовательно, игра не является справедливой и более выгодна для Игрока А.

Ответ: Математическое ожидание выигрыша для Игрока А составляет 3.5 очка, а для Игрока B – $\frac{10}{3}$ (приблизительно 3.33) очка. Игра выгоднее для Игрока А.

14.6 Подбросили игральную кость. Если выпадает число 6, то игрок A получает $n$ очков, а игрок B — $0$ очков. В других случаях игрок A получает $0$ очков, а игрок B — $1$ очко. Рассмотрите случаи:

а) $n = 4$;

б) $n = 5$;

в) $n = 6$.

Для анализа данной игры и определения, является ли она справедливой, выгодной для одного из игроков или нет, мы найдем математическое ожидание (среднее количество очков за один бросок) для каждого игрока.

У стандартной шестигранной игральной кости 6 граней. Вероятность выпадения любого конкретного числа, включая 6, равна $1/6$.

Вероятность события "выпало число 6" составляет $P(6) = \frac{1}{6}$.

Вероятность события "выпало другое число" (то есть 1, 2, 3, 4 или 5) составляет $P(\text{не 6}) = \frac{5}{6}$.

Математическое ожидание очков для игрока А, обозначим его $E_A$, вычисляется по формуле:
$E_A = (\text{очки игрока А при выпадении 6}) \cdot P(6) + (\text{очки игрока А в других случаях}) \cdot P(\text{не 6})$
$E_A = n \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{5}{6} = \frac{n}{6}$.

Математическое ожидание очков для игрока В, обозначим его $E_B$, вычисляется аналогично:
$E_B = (\text{очки игрока В при выпадении 6}) \cdot P(6) + (\text{очки игрока В в других случаях}) \cdot P(\text{не 6})$
$E_B = 0 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{6}$.

Игра считается справедливой, если математические ожидания выигрышей игроков равны ($E_A = E_B$). Если $E_A > E_B$, игра выгоднее игроку А. Если $E_A < E_B$, игра выгоднее игроку В.

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

а) n = 4

Подставим значение $n=4$ в формулу для математического ожидания игрока А:
$E_A = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Математическое ожидание для игрока В не зависит от $n$ и равно $E_B = \frac{5}{6}$.

Сравним полученные значения: $E_A = \frac{4}{6}$ и $E_B = \frac{5}{6}$.
Так как $\frac{4}{6} < \frac{5}{6}$, то в среднем игрок В будет получать больше очков, чем игрок А. Следовательно, игра выгоднее для игрока В.

Ответ: при $n=4$ среднее количество очков за бросок у игрока А составляет $4/6$, а у игрока B — $5/6$. Игра является невыгодной для игрока А и выгодной для игрока В.

б) n = 5

Подставим значение $n=5$ в формулу для математического ожидания игрока А:
$E_A = \frac{5}{6}$.

Математическое ожидание для игрока В по-прежнему равно $E_B = \frac{5}{6}$.

Сравним полученные значения: $E_A = \frac{5}{6}$ и $E_B = \frac{5}{6}$.
Так как $E_A = E_B$, математические ожидания очков для обоих игроков равны. Это означает, что игра является справедливой.

Ответ: при $n=5$ среднее количество очков за бросок у обоих игроков одинаково и равно $5/6$. Игра является справедливой.

в) n = 6

Подставим значение $n=6$ в формулу для математического ожидания игрока А:
$E_A = \frac{6}{6} = 1$.

Математическое ожидание для игрока В не меняется и равно $E_B = \frac{5}{6}$.

Сравним полученные значения: $E_A = 1$ и $E_B = \frac{5}{6}$.
Так как $1 > \frac{5}{6}$, то в среднем игрок А будет получать больше очков, чем игрок В. Следовательно, игра выгоднее для игрока А.

Ответ: при $n=6$ среднее количество очков за бросок у игрока А равно $1$, а у игрока B — $5/6$. Игра является выгодной для игрока А и невыгодной для игрока В.

14.7 Подбрасываются две монеты. Игрок A получает $a$ очков, если выпадают два герба, $0$ очков в других случаях. Игрок B получает $b$ очков, если выпадают герб и решка, $0$ очков в других случаях. Найдите отношение $a : b$, при котором эта игра станет справедливой.

Игра считается справедливой, если математические ожидания (средние ожидаемые значения) количества очков для обоих игроков равны. Обозначим математическое ожидание для игрока А как $E(A)$ и для игрока В как $E(B)$. Условие справедливой игры: $E(A) = E(B)$.

Сначала определим все возможные исходы при подбрасывании двух монет и их вероятности. Пусть "Г" - герб, а "Р" - решка. Существует четыре равновероятных исхода:
1. ГГ (два герба)
2. ГР (герб и решка)
3. РГ (решка и герб)
4. РР (две решки)

Вероятность каждого из этих исходов равна $\frac{1}{4}$.

Теперь рассчитаем математическое ожидание для каждого игрока.

Игрок А получает $a$ очков при выпадении двух гербов (исход ГГ). Вероятность этого события $P(A) = \frac{1}{4}$. В остальных трех случаях он получает 0 очков. Математическое ожидание для игрока А:$E(A) = a \cdot P(\text{ГГ}) + 0 \cdot (1 - P(\text{ГГ})) = a \cdot \frac{1}{4}$.

Игрок В получает $b$ очков при выпадении герба и решки. Таких исходов два: ГР и РГ. Вероятность этого события $P(B) = P(\text{ГР}) + P(\text{РГ}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. В остальных случаях он получает 0 очков. Математическое ожидание для игрока В:$E(B) = b \cdot P(\text{ГР или РГ}) + 0 \cdot (1 - P(\text{ГР или РГ})) = b \cdot \frac{1}{2}$.

Приравняем математические ожидания, чтобы игра стала справедливой:$E(A) = E(B)$
$\frac{a}{4} = \frac{b}{2}$

Чтобы найти отношение $a:b$, выразим $a$ через $b$:$a = \frac{4b}{2}$
$a = 2b$

Отсюда отношение $\frac{a}{b} = 2$, или $a : b = 2 : 1$.

Ответ: $2:1$

14.8* Задача Луки Пачоли (1494 г.). Двое игроков играют до трёх выигрышей. После того как первый игрок выиграл две партии, а второй — одну, игра прервалась. Спрашивается, в каком отношении разделить ставку 210 ливров (ливр — серебряная монета).

Это классическая «задача о разделе ставки», решение которой, предложенное в переписке Блеза Паскаля и Пьера де Ферма, положило начало теории вероятностей. Справедливый раздел ставки должен основываться не на текущем счете, а на вероятностях выигрыша каждого игрока, если бы игра была продолжена.

По условию, игра идет до трех побед. На момент ее прерывания счет 2:1 в пользу первого игрока. Это означает, что первому игроку для итоговой победы не хватает одной выигранной партии, а второму игроку — двух партий. Общая ставка составляет 210 ливров.

Предположим, что игроки равны по силе, следовательно, вероятность выигрыша каждой следующей партии для любого из них равна $1/2$.

Рассмотрим все возможные сценарии завершения игры. Для определения победителя понадобится сыграть не более двух партий. Пусть «П1» означает выигрыш первого игрока в одной партии, а «П2» — выигрыш второго.

Возможные последовательности партий, приводящие к завершению игры, и их вероятности:

1. Первый игрок выигрывает следующую же партию (исход П1). Он сразу достигает трех побед и выигрывает всю игру. Вероятность этого исхода: $1/2$.

2. Второй игрок выигрывает следующую партию, а первый — партию после нее (исход П2, П1). Счет становится 2:2, а затем 3:2. Побеждает первый игрок. Вероятность этой последовательности: $1/2 \times 1/2 = 1/4$.

3. Второй игрок выигрывает обе следующие партии (исход П2, П2). Счет становится 2:2, а затем 2:3. Побеждает второй игрок. Вероятность этой последовательности: $1/2 \times 1/2 = 1/4$.

Теперь вычислим общую вероятность победы для каждого игрока, суммируя вероятности благоприятных для него исходов.

Вероятность победы первого игрока — это сумма вероятностей исходов 1 и 2:
$P(\text{Первый}) = 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4$.

Вероятность победы второго игрока соответствует исходу 3:
$P(\text{Второй}) = 1/4$.

Таким образом, шансы игроков на победу соотносятся как $3/4$ к $1/4$, то есть $3:1$ в пользу первого игрока. В этой же пропорции следует разделить ставку в 210 ливров.

Разделим общую сумму на $3+1=4$ равные части. Одна часть составляет $210 / 4 = 52.5$ ливра.

Доля первого игрока: $3 \times 52.5 = 157.5$ ливров.
Доля второго игрока: $1 \times 52.5 = 52.5$ ливров.

Ответ: Ставку следует разделить в отношении 3:1 в пользу первого игрока. Первый игрок должен получить 157.5 ливров, а второй — 52.5 ливров.